2,5 pontos) Dado o sistema linear
X' = (4, 1/2; -9, -2) X
i… Prove que X1 e X2 são vetores linearmente independentes.
X1 = (-1 3) e^t, X2 = (-1 3) t e^t + (0 -1) e^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema linear de equações diferenciais e duas soluções possíveis, e . A matéria que a gente tá lidando aqui é com independência linear de vetores, que faz parte da álgebra linear. Para provar que e são vetores linearmente independentes, a gente precisa mostrar que nenhuma das soluções pode ser escrita como múltiplo da outra. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Duas funções vetoriais e são linearmente independentes se a única solução para a equação for , onde e são constantes.

Passo 3

Para verificar isso, a gente pode calcular o determinante da matriz formada por e . Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz com e :
Simplificando os elementos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de :
Simplificando:

Passo 6

Observamos que nunca é zero para qualquer valor de . Portanto, o determinante é sempre diferente de zero.

Resposta

Como o determinante , concluímos que e são vetores linearmente independentes.

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