pontos) Dado o sistema linear
i… Prove que
e
são vetores linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema linear de equações diferenciais e duas soluções possíveis,
e
. A matéria que a gente tá lidando aqui é com independência linear de vetores, que faz parte da álgebra linear. Para provar que
e
são vetores linearmente independentes, a gente precisa mostrar que nenhuma das soluções pode ser escrita como múltiplo da outra. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Duas funções vetoriais
e
são linearmente independentes se a única solução para a equação
for
, onde
e
são constantes.
Passo 3
Para verificar isso, a gente pode calcular o determinante da matriz formada por
e
. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz com
e
:
Simplificando os elementos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante de
:
Simplificando:
Passo 6
Observamos que
nunca é zero para qualquer valor de
. Portanto, o determinante é sempre diferente de zero.
Resposta
Como o determinante
, concluímos que
e
são vetores linearmente independentes.
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