(2,0 pontos) Demonstre a partir da Lei de Gauss o teorema da divergência

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para demonstrar o teorema da divergência usando a Lei de Gauss. Basicamente, vamos trabalhar com cálculo vetorial e física, especificamente com integrais de superfícies e volumes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a Lei de Gauss e o que diz o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Lei de Gauss. Ela afirma que a integral de fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral da divergência de F sobre o volume V delimitado por S. Em fórmula:
ointS F cdot dS = integralV (nabla cdot F) , dV

Passo 3

Agora, o teorema da divergência basicamente diz a mesma coisa: que a integral de fluxo através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência no volume. Ou seja, o que a Lei de Gauss nos dá já é, na verdade, o teorema da divergência. Então, nossa tarefa é mostrar que a Lei de Gauss leva diretamente ao teorema da divergência.

Passo 4

Vamos considerar um pequeno volume no espaço e aplicar a Lei de Gauss a esse volume. Isso significa calcular o fluxo através de todas as faces desse pequeno volume. Quando fazemos isso e somamos tudo, a soma dos fluxos nas faces internas se cancela, restando apenas o fluxo nas faces externas, que corresponde à divergência no ponto.

Passo 5

Matematicamente, ao dividir o volume em infinitas pequenas células e aplicar a Lei de Gauss a cada uma, fazemos a soma dessas contribuições. No limite, essa soma se transforma na integral de volume da divergência de F. Assim, chegamos ao teorema da divergência:
ointS F cdot dS = integralV (nabla cdot F) , dV

Resposta

Demonstramos que, a partir da Lei de Gauss, obtemos o teorema da divergência, que relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada à integral da divergência desse campo sobre o volume delimitado pela superfície.

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