(2,0 pontos) Por meio do conceito de densidade de corrente, mostre que, numa região do espaço que exista um fluxo elétrico:
onde
é o operador derivada direcional, e
é a densidade volumétrica de cargas elétricas. Obs.: o sinal negativo indica que a densidade de cargas contrapõe-se à variação da densidade de corrente no espaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente, usando o conceito de densidade de corrente, mostrar que numa região com fluxo elétrico válido, a equação
se sustenta. Basicamente, a matéria aqui é sobre conservação de carga elétrica e densidade de corrente. Para resolver, vamos precisar entender o que é a densidade de corrente
, o operador divergente
, e a densidade volumétrica de carga
.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre conservação de carga elétrica. Isso significa que a carga total em um sistema não muda com o tempo; ou seja, a carga não aparece nem some do nada. Se a carga em uma região está aumentando ou diminuindo, deve haver um fluxo de corrente entrando ou saindo dessa região para manter a conservação.
Passo 3
Agora, vamos introduzir a densidade de corrente
. Ela representa o quanto de carga está passando por uma unidade de área por unidade de tempo. Se temos um fluxo de corrente entrando ou saindo de uma região, isso afeta a densidade de carga nessa região.
Passo 4
Para relacionar a densidade de corrente com a variação da densidade de carga, usamos o operador divergente
. O divergente nos diz se a corrente está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Se o divergente for positivo, há mais corrente saindo do que entrando, o que significa que a densidade de carga está diminuindo.
Passo 5
Matematicamente, a equação de continuidade expressa essa relação de conservação de carga:
O sinal negativo aparece porque se a corrente está saindo (divergente positiva), a densidade de carga está diminuindo, e vice-versa.
Resposta
Portanto, mostramos que
, confirmando a conservação de carga elétrica através da densidade de corrente.