(2,0 pontos) Por meio do conceito de densidade de corrente, mostre que, numa região do espaço que exista um fluxo elétrico:
nabla cdot J=-d rhod t
onde nabla é o operador derivada direcional, e varrho é a densidade volumétrica de cargas elétricas. Obs.: o sinal negativo indica que a densidade de cargas contrapõe-se à variação da densidade de corrente no espaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente, usando o conceito de densidade de corrente, mostrar que numa região com fluxo elétrico válido, a equação nabla cdot J = -d rhod t se sustenta. Basicamente, a matéria aqui é sobre conservação de carga elétrica e densidade de corrente. Para resolver, vamos precisar entender o que é a densidade de corrente J, o operador divergente nabla cdot, e a densidade volumétrica de carga rho.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre conservação de carga elétrica. Isso significa que a carga total em um sistema não muda com o tempo; ou seja, a carga não aparece nem some do nada. Se a carga em uma região está aumentando ou diminuindo, deve haver um fluxo de corrente entrando ou saindo dessa região para manter a conservação.

Passo 3

Agora, vamos introduzir a densidade de corrente J. Ela representa o quanto de carga está passando por uma unidade de área por unidade de tempo. Se temos um fluxo de corrente entrando ou saindo de uma região, isso afeta a densidade de carga nessa região.

Passo 4

Para relacionar a densidade de corrente com a variação da densidade de carga, usamos o operador divergente nabla cdot J. O divergente nos diz se a corrente está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Se o divergente for positivo, há mais corrente saindo do que entrando, o que significa que a densidade de carga está diminuindo.

Passo 5

Matematicamente, a equação de continuidade expressa essa relação de conservação de carga:
nabla cdot J = -d rhod t
O sinal negativo aparece porque se a corrente está saindo (divergente positiva), a densidade de carga está diminuindo, e vice-versa.

Resposta

Portanto, mostramos que nabla cdot J = -d rhod t, confirmando a conservação de carga elétrica através da densidade de corrente.

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