(2 pontos) Determinar as séries de Taylor geradas por f nos pontos dados:
b) f(x) = x^2 / (1 - 2x), a = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a série de Taylor da função no ponto . Vamos usar conceitos de séries de potências e a fórmula da série geométrica para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de é chamada de série de Maclaurin. Para encontrar a série de Maclaurin de , precisamos expressar em uma forma que nos permita identificar os termos da série.

Passo 3

Observamos que pode ser reescrita como:
A fração é semelhante à série geométrica conhecida , válida para .

Passo 4

Aplicando a série geométrica, temos:
Essa série converge quando , ou seja, .

Passo 5

Agora, multiplicamos essa série por para obter a série de :
Podemos reescrever o índice para simplificar:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:

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