(2 pontos) Determinar as séries de Taylor geradas por
nos pontos dados:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a série de Taylor da função
no ponto
. Vamos usar conceitos de séries de potências e a fórmula da série geométrica para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de
é chamada de série de Maclaurin. Para encontrar a série de Maclaurin de
, precisamos expressar
em uma forma que nos permita identificar os termos da série.
Passo 3
Observamos que
pode ser reescrita como:
A fração
é semelhante à série geométrica conhecida
, válida para
.
Passo 4
Aplicando a série geométrica, temos:
Essa série converge quando
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, multiplicamos essa série por
para obter a série de
:
Podemos reescrever o índice para simplificar:
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é: