(2 pontos) Determine as equaçōes paramétricas da reta tangente a curva parametrizada por
no instante .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos uma curva definida por uma função vetorial e queremos encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no instante . Para resolver isso, vamos precisar calcular a posição da curva em e a direção da tangente nesse ponto, que vem da derivada da função vetorial.
Passo 2
Vamos calcular a posição da curva no instante . A função vetorial dada é:
Substituindo :
Sabemos que , então:
Portanto, a posição no instante é a origem do sistema de coordenadas.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a direção da tangente, que é dada pela derivada da função vetorial . Vamos derivar cada componente de em relação a :
Calculando cada derivada:
Portanto, a derivada é:
Passo 4
Vamos avaliar a derivada no instante :
Assim, a direção da reta tangente é o vetor .
Passo 5
Agora, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente usando o ponto e a direção :