(2 pontos) Determine as equaçōes paramétricas da reta tangente a curva parametrizada por
r(t) = (ln(t), (t-1)/(t+2), t ln(t)), t>0
no instante t = 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos uma curva definida por uma função vetorial e queremos encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no instante . Para resolver isso, vamos precisar calcular a posição da curva em e a direção da tangente nesse ponto, que vem da derivada da função vetorial.

Passo 2

Vamos calcular a posição da curva no instante . A função vetorial dada é:
Substituindo :
Sabemos que , então:
Portanto, a posição no instante é a origem do sistema de coordenadas.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a direção da tangente, que é dada pela derivada da função vetorial . Vamos derivar cada componente de em relação a :
Calculando cada derivada:
Portanto, a derivada é:

Passo 4

Vamos avaliar a derivada no instante :
Assim, a direção da reta tangente é o vetor .

Passo 5

Agora, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente usando o ponto e a direção :
onde é o parâmetro da reta.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:
onde é o parâmetro.

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