Seja R a região limitada pela curva e pelas retas e .
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
d) da reta

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma região que é delimitada pela curva , pela reta e pela reta . O objetivo é determinar o volume do sólido que resulta da rotação dessa região em torno da reta .
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com o cálculo de volumes de sólidos de revolução. Para resolver esse problema, vamos usar o método dos discos ou método das cascas cilíndricas, que são técnicas comuns para calcular volumes gerados por rotações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites da integração. A curva e a reta se encontram quando . Resolvendo para :
Então, varia de 0 a 2.

Passo 3

Como vamos rotacionar a região em torno da reta , que é uma linha paralela ao eixo , o método dos discos é adequado. Nesse método, o volume é calculado integrando a área dos discos ao longo do intervalo de .

Passo 4

Vamos determinar as funções que definem os raios dos discos.
  • Raio Externo ( ): A distância da reta de rotação até a reta superior .
  • Raio Interno ( ): A distância da reta de rotação até a curva .

Passo 5

A área de cada disco é dada pela diferença das áreas dos círculos formado pelo raio externo e interno:
Á
Á
Á

Passo 6

Agora, vamos integrar essa área de até para encontrar o volume total:

Passo 7

Vamos calcular a integral:

Passo 8

Agora, substituímos e na expressão:
Para :
Para :

Passo 9

Subtraindo os valores:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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