Seja R a região limitada pela curva
e pelas retas
e
.
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
d) da reta
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
d) da reta
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma região
que é delimitada pela curva
, pela reta
e pela reta
. O objetivo é determinar o volume do sólido que resulta da rotação dessa região em torno da reta
.
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com o cálculo de volumes de sólidos de revolução. Para resolver esse problema, vamos usar o método dos discos ou método das cascas cilíndricas, que são técnicas comuns para calcular volumes gerados por rotações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites da integração. A curva
e a reta
se encontram quando
. Resolvendo para
:
Então,
varia de 0 a 2.
Passo 3
Como vamos rotacionar a região em torno da reta
, que é uma linha paralela ao eixo
, o método dos discos é adequado. Nesse método, o volume é calculado integrando a área dos discos ao longo do intervalo de
.
Passo 4
Vamos determinar as funções que definem os raios dos discos.
- Raio Externo (
): A distância da reta de rotação até a reta superior .
- Raio Interno (
): A distância da reta de rotação até a curva .
Passo 5
A área de cada disco é dada pela diferença das áreas dos círculos formado pelo raio externo e interno:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa área de
até
para encontrar o volume total:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na expressão:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
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da curva espacial parametrizada por
,
, no instante
.
(h)
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b) .
b)
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no instante
.