(4 pontos) Determine o ângulo entre r:c x=1+t y=-2+2 t z=2+2 t s:c x=2+2 t y=5+3 t z=5+t .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o ângulo entre duas retas no espaço tridimensional. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores diretores das retas e o uso do produto escalar para calcular o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores das duas retas. Olhando as equações paramétricas:
Para a reta x = 1 + t y = -2 + 2t z = 2 + 2t :
x = 2 + 2t y = 5 + 3t z = 5 + t
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de , ou seja, .
Para a reta :
O vetor diretor é .

Passo 3

Agora, vamos usar o produto escalar para encontrar o ângulo entre os vetores diretores cos(theta) = u cdot v|u|,|v| e . A fórmula é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Produto escalar:
u cdot v = (1)(2) + (2)(3) + (2)(1) = 2 + 6 + 2 = 10
  1. Magnitudes dos vetores:
|u| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
|v| = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14
  1. Agora, substituindo na fórmula:
cos(theta) = 103 times raiz14 = 103raiz14
  1. Para encontrar o ângulo theta = arccos(103raiz14) approx 21,8^circ , usamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre as retas e é aproximadamente .

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