Seja
o espaço vetorial dos polinômios reais. Decida se Wé, ou não é, uma subespaço de V , nos seguintes casos: W consiste em todos os polinômios de coeficientes inteiros.
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. A questão quer saber se
, que consiste em todos os polinômios com coeficientes inteiros, é ou não um subespaço de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se
atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de um espaço vetorial
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
está em . - Fechado sob adição: Se você pegar quaisquer dois vetores em
e somá-los, o resultado também estará em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em
e multiplicar por qualquer escalar do campo, o resultado também estará em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é o polinômio onde todos os coeficientes são zero. Como zero é um número inteiro, o vetor zero está em
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em
, digamos
e
, ambos com coeficientes inteiros. Quando somamos
, cada coeficiente resultante é a soma de dois inteiros, que também é um inteiro. Portanto,
está em
, mostrando que
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Aqui é que temos um problema. Vamos pegar um polinômio
em
e um escalar
qualquer de
. Multiplicando
por
, os novos coeficientes serão
vezes inteiros. Se
não for inteiro, os coeficientes resultantes não serão inteiros, e assim
não estará mais em
.
Resposta
Como
não é fechado sob multiplicação por escalar,
não é um subespaço de
.