Seja V=P(x) o espaço vetorial dos polinômios reais. Decida se Wé, ou não é, uma subespaço de V , nos seguintes casos: W consiste em todos os polinômios de coeficientes inteiros.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. A questão quer saber se , que consiste em todos os polinômios com coeficientes inteiros, é ou não um subespaço de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de está em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar quaisquer dois vetores em e somá-los, o resultado também estará em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em e multiplicar por qualquer escalar do campo, o resultado também estará em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é o polinômio onde todos os coeficientes são zero. Como zero é um número inteiro, o vetor zero está em . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em , digamos e , ambos com coeficientes inteiros. Quando somamos , cada coeficiente resultante é a soma de dois inteiros, que também é um inteiro. Portanto, está em , mostrando que é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Aqui é que temos um problema. Vamos pegar um polinômio em e um escalar qualquer de . Multiplicando por , os novos coeficientes serão vezes inteiros. Se não for inteiro, os coeficientes resultantes não serão inteiros, e assim não estará mais em .

Resposta

Como não é fechado sob multiplicação por escalar, não é um subespaço de .

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