(2 pontos) Determine os focos, os vértices, as retas diretrizes(quando houver) e esboce as cônicas x^225-y^29=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de uma cônica: x^225-y^29=-1. Nosso objetivo é descobrir os focos, vértices, as retas diretrizes (se houver) e desenhar um esboço dessa cônica. Para isso, vamos lembrar das fórmulas básicas das cônicas e adaptar a equação para facilitar a identificação dos elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para a forma padrão de uma hipérbole. A equação que temos é x^225-y^29=-1. Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
-x^225 + y^29 = 1
Reorganizando:
y^29 - x^225 = 1
Agora, está na forma padrão de uma hipérbole vertical: y^2a^2 - x^2b^2 = 1.

Passo 3

Identificamos que é uma hipérbole vertical, porque o termo positivo é o de y^2. Para uma hipérbole vertical, os vértices estão no eixo y, e os focos também estão ao longo desse eixo. As retas diretrizes existem para hipérboles, então vamos calculá-las.

Passo 4

Na forma padrão, a^2 = 9, então a = 3. Os vértices estão a uma distância a do centro. Como a hipérbole é vertical e o centro é na origem (0,0), os vértices são:
(0, pm a) = (0, pm 3)
Ou seja, os vértices são (0, 3) e (0, -3).

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a relação c^2 = a^2 + b^2. Aqui, b^2 = 25, então:
c^2 = 9 + 25 = 34 c = raiz34
Os focos também estão no eixo y, então suas coordenadas são:
(0, pm c) = (0, pm raiz34)

Passo 6

As retas diretrizes são dadas por:
y = pm a^2c
Substituindo os valores:
y = pm 9raiz34 = pm 9raiz3434

Resposta

A hipérbole x^225-y^29=-1 tem os seguintes elementos:
  • Vértices: (0, 3) e (0, -3)
  • Focos: (0,, raiz34) e (0,, -raiz34)
  • Retas Diretrizes: y = 9raiz3434 e y = -9raiz3434
E o esboço da hipérbole é uma figura com dois ramos abertos verticalmente, centrados na origem, passando pelos vértices e aproximando-se das retas diretrizes.

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