(2 pontos) Determine os focos, os vértices, as retas diretrizes(quando houver) e esboce as cônicas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de uma cônica:
. Nosso objetivo é descobrir os focos, vértices, as retas diretrizes (se houver) e desenhar um esboço dessa cônica. Para isso, vamos lembrar das fórmulas básicas das cônicas e adaptar a equação para facilitar a identificação dos elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação para a forma padrão de uma hipérbole. A equação que temos é
. Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
Reorganizando:
Agora, está na forma padrão de uma hipérbole vertical:
.
Passo 3
Identificamos que é uma hipérbole vertical, porque o termo positivo é o de
. Para uma hipérbole vertical, os vértices estão no eixo
, e os focos também estão ao longo desse eixo. As retas diretrizes existem para hipérboles, então vamos calculá-las.
Passo 4
Na forma padrão,
, então
. Os vértices estão a uma distância
do centro. Como a hipérbole é vertical e o centro é na origem (0,0), os vértices são:
Ou seja, os vértices são (0, 3) e (0, -3).
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a relação
. Aqui,
, então:
Os focos também estão no eixo
, então suas coordenadas são:
Passo 6
As retas diretrizes são dadas por:
Substituindo os valores:
Resposta
A hipérbole
tem os seguintes elementos:
- Vértices: (0, 3) e (0, -3)
- Focos:
e - Retas Diretrizes:
e
E o esboço da hipérbole é uma figura com dois ramos abertos verticalmente, centrados na origem, passando pelos vértices e aproximando-se das retas diretrizes.