(6 pontos) Determine área da região limitada pelos gráficos das funções y = -x + 5 e y = 4/x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelos gráficos das funções e . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas funções se encontram, ou seja, encontrar os valores de onde . Isso nos dará os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Vamos igualar as duas funções:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Rearranjando a equação:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Fatorando a equação:
Então, as soluções são:
Esses são os pontos onde as duas funções se interceptam.

Passo 5

Agora que temos os limites de integração ( e ), precisamos determinar qual das funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar :
Como quando , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 6

A área entre as duas curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, entre e :

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Integrando termo a termo:

Passo 8

Calculando os valores:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Como .

Passo 9

Agora, juntando tudo:
Calculando numericamente:
Então:

Resposta

A área da região limitada pelas funções e é aproximadamente unidades quadradas.

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