(6 pontos) Determine área da região limitada pelos gráficos das funções
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelos gráficos das funções
e
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas funções se encontram, ou seja, encontrar os valores de
onde
. Isso nos dará os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Vamos igualar as duas funções:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Rearranjando a equação:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Fatorando a equação:
Então, as soluções são:
Esses são os pontos onde as duas funções se interceptam.
Passo 5
Agora que temos os limites de integração (
e
), precisamos determinar qual das funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar
:
Como
quando
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
A área entre as duas curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, entre
e
:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Calculando os valores:
Para a primeira parte:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Como
.
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Calculando numericamente:
Então:
Resposta
A área da região limitada pelas funções
e
é aproximadamente
unidades quadradas.