(7 pontos) Determine o maior conjunto em que a função
é contínua. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o maior conjunto onde a função
é contínua. A função dada é:
A matéria envolvida aqui é Cálculo Multivariável, especificamente o conceito de continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos verificar onde a função está bem definida e se ela é contínua nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar onde a função está bem definida. Para
, o denominador
não é zero, já que apenas no ponto
ele se anula. Assim, a função está bem definida para todos os pontos diferentes de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade da função em
. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Passo 4
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares. Assim, substituímos:
Onde
é a distância até a origem e
é o ângulo. Substituindo na função:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0:
Passo 6
Como o limite quando
se aproxima de
é 0, que é exatamente o valor da função nesse ponto, a função é contínua em
.
Passo 7
Além disso, já vimos que a função está bem definida e é contínua para todos os outros pontos
. Portanto, a função é contínua em todos os pontos do plano.
Resposta
A função
é contínua para todos os pontos do plano
.