(7 pontos) Determine o maior conjunto em que a função é contínua. Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o maior conjunto onde a função é contínua. A função dada é:
A matéria envolvida aqui é Cálculo Multivariável, especificamente o conceito de continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos verificar onde a função está bem definida e se ela é contínua nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar onde a função está bem definida. Para , o denominador não é zero, já que apenas no ponto ele se anula. Assim, a função está bem definida para todos os pontos diferentes de .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade da função em . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 4

Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares. Assim, substituímos:
Onde é a distância até a origem e é o ângulo. Substituindo na função:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende a 0:

Passo 6

Como o limite quando se aproxima de é 0, que é exatamente o valor da função nesse ponto, a função é contínua em .

Passo 7

Além disso, já vimos que a função está bem definida e é contínua para todos os outros pontos . Portanto, a função é contínua em todos os pontos do plano.

Resposta

A função é contínua para todos os pontos do plano .

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