Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor incial:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
, com as condições iniciais
e
. Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. Para isso, precisamos lembrar das propriedades da Transformada de Laplace para derivadas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Sabemos que:
E também que:
Passo 3
Substituindo as transformadas na equação original, temos:
Como
e
, a equação simplifica para:
Passo 4
Vamos fatorar o
do lado esquerdo:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador
:
Então, a expressão para
fica:
Passo 6
Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para facilitar a Transformada Inversa de Laplace:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 7
Vamos encontrar os valores de
,
e
substituindo valores estratégicos de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Substituindo
,
e
na expressão das frações parciais:
Passo 9
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
:
(l)
(l)
13
Calcule :
(a)
Calcule
(a)
(6 pontos) Determine área da região limitada pelos gráficos das funções
e
.
(7 pontos) Determine o maior conjunto em que a função
é contínua. Justifique a sua resposta.