Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor incial:
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. Para isso, precisamos lembrar das propriedades da Transformada de Laplace para derivadas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Sabemos que:
E também que:

Passo 3

Substituindo as transformadas na equação original, temos:
Como e , a equação simplifica para:

Passo 4

Vamos fatorar o do lado esquerdo:
Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos fatorar o denominador :
Então, a expressão para fica:

Passo 6

Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para facilitar a Transformada Inversa de Laplace:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 7

Vamos encontrar os valores de , e substituindo valores estratégicos de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Substituindo , e na expressão das frações parciais:

Passo 9

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:

Resposta

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Calcule :
(l)
13
Calcule :
(a)
(6 pontos) Determine área da região limitada pelos gráficos das funções e .
(7 pontos) Determine o maior conjunto em que a função é contínua. Justifique a sua resposta.