(8 pontos) Determine equações para os planos paralelos alpha e beta que contêm r:c x=1+t y=-2+2 t z=2+2 t s:c x=2+2 t y=5+3 t z=5+t , respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as equações dos planos α e β que são paralelos e que contêm as retas r e s, respectivamente. Para resolver isso, vamos trabalhar com Geometria Analítica, especificamente com equações de planos e retas no espaço tridimensional. Precisaremos entender como são definidas as retas e como encontrar o plano que as contém.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações das retas r e s:
  • Reta r:
    x = 1 + t y = -2 + 2t z = 2 + 2t
    Aqui, o ponto inicial é x = 2 + 2t y = 5 + 3t z = 5 + t e o vetor diretor é .
  • Reta s:
    O ponto inicial é e o vetor diretor é .

Passo 3

Como os planos α e β são paralelos, eles devem ter o mesmo vetor normal. Para encontrar esse vetor normal, precisamos que ele seja perpendicular aos vetores diretores das retas que cada plano contém. Ou seja, o vetor normal será ortogonal a n = i & j & k 1 & 2 & 2 2 & 3 & 1 = i(2 cdot 1 - 2 cdot 3) - j(1 cdot 1 - 2 cdot 2) + k(1 cdot 3 - 2 cdot 2) e n = i(2 - 6) - j(1 - 4) + k(3 - 4) .
Para encontrar um vetor ortogonal a dois vetores dados, usamos o produto vetorial. Vamos calcular n = (-4, 3, -1) :
Então, o vetor normal comum aos planos é .

Passo 4

Agora que temos o vetor normal, podemos escrever a equação geral do plano usando a forma:
-4x + 3y - z + D = 0
Precisamos encontrar o valor de D para cada plano usando um ponto que pertence a cada um.
  • Para o plano α (que contém a reta r, com ponto -4(1) + 3(-2) - (2) + D = 0 ):
-4 -6 -2 + D = 0
-12 + D = 0 implies D = 12
-4x + 3y - z + 12 = 0
Então, a equação do plano α é:
-4(2) + 3(5) - (5) + D = 0
  • Para o plano β (que contém a reta s, com ponto -8 +15 -5 + D = 0 ):
2 + D = 0 implies D = -2
-4x + 3y - z - 2 = 0
Portanto, a equação do plano β é:

Resposta

As equações dos planos paralelos são:
alpha: -4x + 3y - z + 12 = 0
beta: -4x + 3y - z - 2 = 0

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