(2,0 pontos) Determine a equação da elipse centrada no ponto
, tem um vértice no ponto
e tem excentricidade
. Esboce o gráfico da elipse e especifique os elementos como focos e vértices.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre elipses! O problema pede pra gente encontrar a equação de uma elipse que tem o centro no ponto
, um vértice em
e uma excentricidade
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como a equação de uma elipse é formada e como a excentricidade se relaciona com os outros elementos da elipse, como os semi-eixos e os focos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição dos elementos. Sabemos que o centro da elipse é
e que um dos vértices está em
. Isso indica que a elipse está alinhada horizontalmente, ou seja, o eixo maior está na direção do eixo x.
Passo 3
Na equação padrão da elipse horizontal, temos:
Onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 4
Como o centro é
, substituímos
e
na equação:
Passo 5
Sabemos que um vértice está em
. A distância do centro a um vértice é igual a
. Calculamos essa distância:
Então,
.
Passo 6
A excentricidade
da elipse é dada por:
Onde
é a distância do centro a cada foco.
Dado que
e
, podemos encontrar
:
Passo 7
Agora, vamos relacionar
,
e
. Na elipse, temos a relação:
Substituindo
e
:
Passo 8
Agora que temos todos os valores, podemos escrever a equação da elipse:
Passo 9
Para esboçar o gráfico da elipse:
- Centro em
. - Vértices em
e (pois ). - Focos em
e (pois ). - Semi-eixo menor de comprimento
, então aos lados em e .
Resposta
A equação da elipse é:
O esboço da elipse tem centro em
, vértices em
e
, focos em
e
, e os semi-eixos medem
(horizontal) e
(vertical).