(2,0 pontos) Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,2), tem um vértice no ponto (3,2) e tem excentricidade varepsilon=12. Esboce o gráfico da elipse e especifique os elementos como focos e vértices.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre elipses! O problema pede pra gente encontrar a equação de uma elipse que tem o centro no ponto (1,2), um vértice em (3,2) e uma excentricidade varepsilon = 12. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como a equação de uma elipse é formada e como a excentricidade se relaciona com os outros elementos da elipse, como os semi-eixos e os focos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição dos elementos. Sabemos que o centro da elipse é (1,2) e que um dos vértices está em (3,2). Isso indica que a elipse está alinhada horizontalmente, ou seja, o eixo maior está na direção do eixo x.

Passo 3

Na equação padrão da elipse horizontal, temos:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde (h,k) é o centro da elipse, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor.

Passo 4

Como o centro é (1,2), substituímos h e k na equação:
(x - 1)^2a^2 + (y - 2)^2b^2 = 1

Passo 5

Sabemos que um vértice está em (3,2). A distância do centro a um vértice é igual a a. Calculamos essa distância:
a = 3 - 1 = 2
Então, a = 2.

Passo 6

A excentricidade varepsilon da elipse é dada por:
varepsilon = ca
Onde c é a distância do centro a cada foco.
Dado que varepsilon = 12 e a = 2, podemos encontrar c:
12 = c2 implies c = 1

Passo 7

Agora, vamos relacionar a, b e c. Na elipse, temos a relação:
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo c = 1 e a = 2:
1^2 = 2^2 - b^2 1 = 4 - b^2 b^2 = 4 - 1 b^2 = 3 b = raiz3

Passo 8

Agora que temos todos os valores, podemos escrever a equação da elipse:
(x - 1)^22^2 + (y - 2)^2(raiz3)^2 = 1 (x - 1)^24 + (y - 2)^23 = 1

Passo 9

Para esboçar o gráfico da elipse:
  • Centro em (1,2).
  • Vértices em (3,2) e (-1,2) (pois a = 2).
  • Focos em (2,2) e (0,2) (pois c = 1).
  • Semi-eixo menor de comprimento raiz3, então aos lados em (1, 2+raiz3) e (1, 2-raiz3).

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 1)^24 + (y - 2)^23 = 1
O esboço da elipse tem centro em (1,2), vértices em (3,2) e (-1,2), focos em (2,2) e (0,2), e os semi-eixos medem 2 (horizontal) e raiz3 (vertical).

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