(3, 0 pontos) Seja
o círculo de centro no ponto de interseção das retas
e
dadas por
A reta
é tangente ao círculo
no ponto
. Determine
(a) a equação do círculo;
(a) a equação do círculo;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos duas retas,
e
com equações paramétricas
e
. O ponto de interseção dessas duas retas é o centro do círculo
. Além disso, a reta
é tangente ao círculo no ponto
. Precisamos encontrar a equação desse círculo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como interseção de retas, equação de círculo e condição de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro do círculo, que é o ponto de interseção das retas
e
. Para isso, vamos resolver o sistema formado por
e
.
A reta
está dada parametricamente:
Podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na equação de
:
Então, a equação de
na forma explícita é:
Agora, temos as duas retas:
Vamos substituir
da
na equação de
:
Substituindo
de volta na equação de
:
Portanto, o centro do círculo
é:
Passo 3
Agora, vamos identificar o ponto
onde a reta
é tangente ao círculo. Sabemos que a reta tangente a um círculo no ponto de tangência é perpendicular ao raio naquele ponto.
A equação da reta tangente é
. Podemos encontrar a direção do raio, que deve ser perpendicular a essa reta.
A inclinação da reta
pode ser encontrada rearranjando a equação:
Então, a inclinação de
é
. A inclinação do raio, por ser perpendicular, é o negativo do inverso:
Sabemos que o raio passa pelo centro
e tem inclinação
. Vamos usar a equação da reta passando por
com essa inclinação para encontrar o ponto
.
A equação do raio é:
Agora, encontramos a interseção das retas
e do raio:
Igualando as duas expressões para
:
Substituindo
em
:
Portanto, o ponto
é:
Passo 4
Com o centro
e o ponto de tangência
, podemos calcular o raio do círculo usando a distância entre esses dois pontos.
A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Aplicando:
Passo 5
Agora que temos o centro
e o raio
, podemos escrever a equação do círculo. A equação padrão de um círculo é:
Onde
é o centro e
é o raio.
Substituindo:
Resposta
A equação do círculo
é: