(3, 0 pontos) Seja C o círculo de centro no ponto de interseção das retas r1 e r2 dadas por
r1: x+2 y=1 e r2:l x=5+t y=4+2 t
A reta r: x+2 y=2 é tangente ao círculo C no ponto Q. Determine
(a) a equação do círculo;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos duas retas, r1: x + 2y = 1 e r2 com equações paramétricas x = 5 + t e y = 4 + 2t. O ponto de interseção dessas duas retas é o centro do círculo C. Além disso, a reta r: x + 2y = 2 é tangente ao círculo no ponto Q. Precisamos encontrar a equação desse círculo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como interseção de retas, equação de círculo e condição de tangência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro do círculo, que é o ponto de interseção das retas r1 e r2. Para isso, vamos resolver o sistema formado por r1 e r2.
A reta r2 está dada parametricamente:
x = 5 + t y = 4 + 2t
Podemos expressar t em termos de x:
t = x - 5
Substituindo na equação de y:
y = 4 + 2(x - 5) = 4 + 2x - 10 = 2x - 6
Então, a equação de r2 na forma explícita é:
y = 2x - 6
Agora, temos as duas retas:
r1: x + 2y = 1 r2: y = 2x - 6
Vamos substituir y da r2 na equação de r1:
x + 2(2x - 6) = 1 x + 4x - 12 = 1 5x - 12 = 1 5x = 13 x = 135
Substituindo x de volta na equação de r2:
y = 2(135) - 6 = 265 - 305 = -45
Portanto, o centro do círculo C é:
C(135, -45)

Passo 3

Agora, vamos identificar o ponto Q onde a reta r: x + 2y = 2 é tangente ao círculo. Sabemos que a reta tangente a um círculo no ponto de tangência é perpendicular ao raio naquele ponto.
A equação da reta tangente é x + 2y = 2. Podemos encontrar a direção do raio, que deve ser perpendicular a essa reta.
A inclinação da reta r pode ser encontrada rearranjando a equação:
x + 2y = 2 Rightarrow y = -12x + 1
Então, a inclinação de r é mr = -12. A inclinação do raio, por ser perpendicular, é o negativo do inverso:
mraio = 2
Sabemos que o raio passa pelo centro C(135, -45) e tem inclinação 2. Vamos usar a equação da reta passando por C com essa inclinação para encontrar o ponto Q.
A equação do raio é:
y - yC = mraio(x - xC) y + 45 = 2(x - 135) y = 2x - 265 - 45 y = 2x - 305 y = 2x - 6
Agora, encontramos a interseção das retas r e do raio:
y = 2x - 6 y = -12x + 1
Igualando as duas expressões para y:
2x - 6 = -12x + 1 2x + 12x = 7 52x = 7 x = 145
Substituindo x em y = 2x - 6:
y = 2(145) - 6 = 285 - 305 = -25
Portanto, o ponto Q é:
Q(145, -25)

Passo 4

Com o centro C(135, -45) e o ponto de tangência Q(145, -25), podemos calcular o raio do círculo usando a distância entre esses dois pontos.
A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aplicando:
r = raiz(145 - 135)^2 + (-25 - (-45))^2 r = raiz(15)^2 + (25)^2 r = raiz125 + 425 r = raiz525 r = raiz15 r = raiz55

Passo 5

Agora que temos o centro C(135, -45) e o raio r = raiz55, podemos escrever a equação do círculo. A equação padrão de um círculo é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde (h, k) é o centro e r é o raio.
Substituindo:
(x - 135)^2 + (y + 45)^2 = (raiz55)^2 (x - 135)^2 + (y + 45)^2 = 525 (x - 135)^2 + (y + 45)^2 = 15

Resposta

A equação do círculo C é:
(x - 135)^2 + (y + 45)^2 = 15

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