(3, 0 pontos) Por uma rotação de
dos eixos coordenados uma certa equação é transformada na equação
no eixo
(a) Encontre a equação original nas coordenadas
.
(a) Encontre a equação original nas coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma rotação dos eixos coordenados de um ângulo
(que é 45 graus). Depois dessa rotação, a equação ficou
nos novos eixos
e
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual era a equação original antes dessa rotação nos eixos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a rotação dos eixos funciona. Quando rotacionamos os eixos coordenados em um ângulo
, as novas coordenadas
estão relacionadas às antigas
pelas seguintes fórmulas:
Nesse caso,
, então
.
Passo 3
Vamos substituir
e
nas fórmulas:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, queremos expressar a equação
em termos de
e
. Para isso, vamos substituir
e
pelas expressões que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:
Passo 6
Distribuímos os termos dentro dos parênteses:
Passo 7
Vamos juntar os termos semelhantes:
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar as frações:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, podemos dividir ambos os lados da equação por
para simplificar:
Racionalizando o denominador:
Resposta
A equação original nos eixos
e
é
.