(3, 0 pontos) Por uma rotação de theta=pi4 dos eixos coordenados uma certa equação é transformada na equação 4 x1-9 y1=36 no eixo x1 O y1
(a) Encontre a equação original nas coordenadas x O y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma rotação dos eixos coordenados de um ângulo (que é 45 graus). Depois dessa rotação, a equação ficou nos novos eixos e . Nosso objetivo aqui é descobrir qual era a equação original antes dessa rotação nos eixos e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a rotação dos eixos funciona. Quando rotacionamos os eixos coordenados em um ângulo x1 = x costheta + y sintheta y1 = -x sintheta + y costheta , as novas coordenadas estão relacionadas às antigas pelas seguintes fórmulas:
Nesse caso, , então .

Passo 3

Vamos substituir x1 = x cdot raiz22 + y cdot raiz22 y1 = -x cdot raiz22 + y cdot raiz22 e x1 = raiz22(x + y) y1 = raiz22(-x + y) nas fórmulas:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, queremos expressar a equação 4(raiz22(x + y)) - 9(raiz22(-x + y)) = 36 em termos de e . Para isso, vamos substituir e pelas expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
4 cdot raiz22 = 2raiz2
-9 cdot raiz22 = -9raiz22
Então, a equação fica:
2raiz2(x + y) - 9raiz22(-x + y) = 36

Passo 6

Distribuímos os termos dentro dos parênteses:
2raiz2x + 2raiz2y + 9raiz22x - 9raiz22y = 36

Passo 7

Vamos juntar os termos semelhantes:
(2raiz2 + 9raiz22)x + (2raiz2 - 9raiz22)y = 36
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar as frações:
(4raiz2 + 9raiz2)x + (4raiz2 - 9raiz2)y = 72
Simplificando:
13raiz2x - 5raiz2y = 72

Passo 8

Finalmente, podemos dividir ambos os lados da equação por 13x - 5y = 72raiz2 para simplificar:
13x - 5y = 36raiz2
Racionalizando o denominador:

Resposta

A equação original nos eixos e é .

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