(2 pontos) No instante , uma partícula está localizada no ponto . Ela se desloca em linha reta até o ponto , tem módulo de velocidade igual a 2 em e aceleração constante igual a . Encontre uma equação para o vetor posição .
Passo 1
Então, temos uma partícula que começa no ponto no tempo e se move em linha reta até o ponto . Sabemos que a velocidade dela nesse ponto inicial é de módulo 2 e que sua aceleração é constante, dada por . Nosso objetivo é encontrar uma equação para o vetor posição dessa partícula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente as equações do movimento com aceleração constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a posição da partícula em função do tempo pode ser encontrada integrando a velocidade, e a velocidade pode ser encontrada integrando a aceleração. Como a aceleração é constante, isso simplifica bastante nosso trabalho.
Passo 3
A aceleração é constante e dada por . Para encontrar a velocidade , vamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
onde é a velocidade inicial.
Passo 4
Sabemos que a velocidade inicial tem módulo 2, mas precisamos encontrar sua direção. Como a partícula se move de para , a direção da velocidade inicial será a direção do vetor que vai de para . Calculamos esse vetor:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a velocidade inicial com módulo 2 na direção de . Primeiro, normalizamos :
A direção unitária é:
Então, a velocidade inicial é:
Passo 6
Agora que temos e , podemos encontrar a velocidade em qualquer tempo :
Passo 7
Para encontrar a posição , integramos a velocidade em relação ao tempo: