(2 pontos) No instante
, uma partícula está localizada no ponto
. Ela se desloca em linha reta até o ponto
, tem módulo de velocidade igual a 2 em
e aceleração constante igual a
. Encontre uma equação para o vetor posição
.
Passo 1
Então, temos uma partícula que começa no ponto
no tempo
e se move em linha reta até o ponto
. Sabemos que a velocidade dela nesse ponto inicial é de módulo 2 e que sua aceleração é constante, dada por
. Nosso objetivo é encontrar uma equação para o vetor posição
dessa partícula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente as equações do movimento com aceleração constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a posição da partícula em função do tempo pode ser encontrada integrando a velocidade, e a velocidade pode ser encontrada integrando a aceleração. Como a aceleração é constante, isso simplifica bastante nosso trabalho.
Passo 3
A aceleração é constante e dada por
. Para encontrar a velocidade
, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
onde
é a velocidade inicial.
Passo 4
Sabemos que a velocidade inicial tem módulo 2, mas precisamos encontrar sua direção. Como a partícula se move de
para
, a direção da velocidade inicial será a direção do vetor que vai de
para
. Calculamos esse vetor:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a velocidade inicial
com módulo 2 na direção de
. Primeiro, normalizamos
:
A direção unitária é:
Então, a velocidade inicial é:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos encontrar a velocidade em qualquer tempo
:
Passo 7
Para encontrar a posição
, integramos a velocidade em relação ao tempo:
Onde
é a posição inicial
.
Passo 8
Substituindo os valores que temos:
Resposta
Portanto, a equação para o vetor posição
é: