(2 pontos) No instante t = 0, uma partícula está localizada no ponto P(1, 2, 3). Ela se desloca em linha reta até o ponto Q(4, 1, 4), tem módulo de velocidade igual a 2 em P(1, 2, 3) e aceleração constante igual a a(t) = (3, -1, 1). Encontre uma equação para o vetor posição vec(r)(t).

Passo 1

Então, temos uma partícula que começa no ponto P(1, 2, 3) no tempo t = 0 e se move em linha reta até o ponto Q(4, 1, 4). Sabemos que a velocidade dela nesse ponto inicial é de módulo 2 e que sua aceleração é constante, dada por . Nosso objetivo é encontrar uma equação para o vetor posição vec(r)(t) dessa partícula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente as equações do movimento com aceleração constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição da partícula em função do tempo pode ser encontrada integrando a velocidade, e a velocidade pode ser encontrada integrando a aceleração. Como a aceleração é constante, isso simplifica bastante nosso trabalho.

Passo 3

A aceleração é constante e dada por . Para encontrar a velocidade vec(v)(t), vamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
onde é a velocidade inicial.

Passo 4

Sabemos que a velocidade inicial tem módulo 2, mas precisamos encontrar sua direção. Como a partícula se move de P para Q, a direção da velocidade inicial será a direção do vetor que vai de P para Q. Calculamos esse vetor:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade inicial com módulo 2 na direção de . Primeiro, normalizamos :
A direção unitária é:
Então, a velocidade inicial é:

Passo 6

Agora que temos e a, podemos encontrar a velocidade em qualquer tempo t:

Passo 7

Para encontrar a posição vec(r)(t), integramos a velocidade em relação ao tempo:
Onde é a posição inicial P(1, 2, 3).

Passo 8

Substituindo os valores que temos:

Resposta

Portanto, a equação para o vetor posição vec(r)(t) é:

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