(2 pontos) Determine o raio de convergência da série de potências .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o raio de convergência da série de potências dada por:
Isso está dentro da matéria de Séries de Potências, e para resolver, vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto (em relação ao centro da série, que aqui é 3) a série de potências converge. Para encontrar esse raio, usamos o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert).
Passo 3
O Teste da Razão diz que para a série , a série converge se:
E diverge se L > 1. Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Agora, vamos aplicar esse teste na nossa série. Aqui, an = 2^n(x - 3)^2n. Vamos calcular an+1an: