(2 pontos) Determine o raio de convergência da série de potências sumn=0^infty 2^n(x- 3)^2 n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o raio de convergência da série de potências dada por:
sumn=0^infty 2^n(x - 3)^2n
Isso está dentro da matéria de Séries de Potências, e para resolver, vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto (em relação ao centro da série, que aqui é 3) a série de potências converge. Para encontrar esse raio, usamos o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert).

Passo 3

O Teste da Razão diz que para a série sum an, a série converge se:
L = limn to infty | an+1an | < 1
E diverge se L > 1. Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Agora, vamos aplicar esse teste na nossa série. Aqui, an = 2^n(x - 3)^2n. Vamos calcular an+1an:
an+1an = 2^n+1(x - 3)^2(n+1)2^n(x - 3)^2n = 2 cdot (x - 3)^2

Passo 5

Agora, calculamos o limite L:
L = limn to infty |2 cdot (x - 3)^2| = 2 cdot |(x - 3)^2| = 2(x - 3)^2
Para a série converger, precisamos que L < 1:
2(x - 3)^2 < 1

Passo 6

Vamos resolver essa desigualdade:
(x - 3)^2 < 12
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
|x - 3| < 1raiz2

Passo 7

O termo 1raiz2 é o raio de convergência da série. Portanto,
R = 1raiz2

Resposta

O raio de convergência da série é R = 1raiz2.

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