(2 pontos) Seja
(a)
é contínua no ponto 0 ?
Dica: Calcule
.
(a)
Dica: Calcule
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se a função
é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de limite e continuidade em funções complexas. Segundo a dica, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de zero.
Passo 2
A função
está definida de duas formas:
- Para
, - Para
,
Vamos focar na parte onde
para calcular o limite.
Passo 3
Vamos expressar
em coordenadas polares para facilitar os cálculos. Isso significa escrever
, onde:
-
é o módulo de -
é o ângulo que forma com o eixo real
Então, temos:
Substituindo na função:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo de
:
Então, o limite quando
se aproxima de 0 é:
Como
, temos que:
Isso mostra que a função
é contínua no ponto
.
Resposta
Sim, a função
é contínua no ponto
.