(2 pontos) Seja f(z)=llbarz^3 / z^2, & se z neq 0 0, & caso contrário á
(a) f é contínua no ponto 0 ?
Dica: Calcule lim z 0|f(z)|.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de limite e continuidade em funções complexas. Segundo a dica, vamos calcular o limite de quando se aproxima de zero.

Passo 2

A função está definida de duas formas:
  • Para ,
  • Para ,
Vamos focar na parte onde para calcular o limite.

Passo 3

Vamos expressar f(z) = z^3z^2 = r^3 e^-i3thetar^2 e^i2theta = r e^-i5theta em coordenadas polares para facilitar os cálculos. Isso significa escrever , onde:
  • é o módulo de
  • é o ângulo que forma com o eixo real
Então, temos:
Substituindo na função:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de |f(z)| = |r e^-i5theta| = r :
limz to 0 |f(z)| = limr to 0 r = 0
Então, o limite quando limz to 0 f(z) = f(0) se aproxima de 0 é:
Como , temos que:
Isso mostra que a função é contínua no ponto .

Resposta

Sim, a função é contínua no ponto .

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