(2 Pontos)
, determine:
A taxa de variação de f no ponto
na direção de P a
A taxa de variação de f no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir qual é a taxa de variação dessa função no ponto
na direção do ponto
. Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e vetores de direção.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda.
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 4
Em seguida, precisamos determinar o vetor de direção da direção de
a
. O vetor direção é dado por
.
Passo 5
Precisamos normalizar esse vetor direção para obter um vetor unitário. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude:
Passo 6
A taxa de variação direcional é calculada pelo produto escalar do gradiente de
no ponto com o vetor unitário na direção desejada:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
(2 Pontos) Determine as derivadas:
da função
(2 Pontos) Para cada uma das seguintes funçðes encontre o domínio e o esboce-o.
(2 Pontos)
, determine:
Em que direção tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?
Em que direção
Resolva as integrais duplas:
. Resp.: 4040 .