(2 Pontos) Se f(x, y) = x e^y, determine:
Em que direção f tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa descobrir duas coisas:
  1. Direção em que a função cresce mais rápido.
  2. Máxima taxa de variação nessa direção.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos mostra a direção de crescimento mais rápido de uma função e a taxa máxima de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 3

A direção de máxima taxa de variação é justamente a direção do gradiente. Para termos uma direção unitaria (que apenas indica a direção e não o tamanho), vamos normalizar o gradiente.
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Agora, a direção unitária é:

Passo 4

A máxima taxa de variação é o módulo do gradiente, que já calculamos:

Resposta

A função tem a máxima taxa de variação na direção do vetor e a máxima taxa de variação é .

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