(2 Pontos)
, determine:
Em que direção
tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?
Em que direção
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa descobrir duas coisas:
- Direção em que a função cresce mais rápido.
- Máxima taxa de variação nessa direção.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos mostra a direção de crescimento mais rápido de uma função e a taxa máxima de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Então, o gradiente
é:
Passo 3
A direção de máxima taxa de variação é justamente a direção do gradiente. Para termos uma direção unitaria (que apenas indica a direção e não o tamanho), vamos normalizar o gradiente.
Primeiro, calculamos o módulo do gradiente:
Agora, a direção unitária é:
Passo 4
A máxima taxa de variação é o módulo do gradiente, que já calculamos:
Resposta
A função
tem a máxima taxa de variação na direção do vetor
e a máxima taxa de variação é
.