Resolva as integrais abaixo: .

Passo 1

Vamos resolver a integral . Isso faz parte da matéria de cálculo integral, mais especificamente da técnica de substituição. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar uma parte da expressão que possa ser substituída por uma única variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a parte elevada à quarta potência e para o termo . Perceba que o segundo termo parece ser a derivada do primeiro. Então, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral.
Definimos .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso significa que . Observamos que esse está exatamente presente na nossa integral original.

Passo 4

Com a substituição feita, a integral original fica mais simples. Substituímos por e por :

Passo 5

Agora, basta integrar em relação a . A regra básica de integração para potências diz que:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 6

Por fim, substituímos de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

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  1. Prove que (Dica: Após aplicar a definição da derivada somar e subtrair ao numerador
(1,5 pontos) Encontre a área da região em forma de lua crescente delimitada pelos arcos dos círculos de raios e (figura à direita). Lembre-se, que o círculo tem equação geral . (Dica: faça um esboço no plano cartesiano considerando a circunferência maior com centro na origem e admita que a distância entre os centros é , tal que , e defina as coordenadas do centro da circunferência menor em função de e . Defina o centro da circunferência menor. Escreva as equações dessas circunferências e encontre os pontos de interseção para definir o intervalo de integração. Use simetrias para calcular a integral.)
Resolva as integrais abaixo: .
Resolva as integrais abaixo: .