Resolva as integrais abaixo: integral(3 x^4-2 x)^4(12 x^3-2) d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Isso faz parte da matéria de cálculo integral, mais especificamente da técnica de substituição. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar uma parte da expressão que possa ser substituída por uma única variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a parte elevada à quarta potência e para o termo . Perceba que o segundo termo parece ser a derivada do primeiro. Então, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral.
Definimos .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 12x^3 - 2 em relação a :
Isso significa que . Observamos que esse está exatamente presente na nossa integral original.

Passo 4

Com a substituição feita, a integral original fica mais simples. Substituímos integral u^4 du por e por :

Passo 5

Agora, basta integrar integral u^n du = u^n+1n+1 + C em relação a integral u^4 du = u^55 + C . A regra básica de integração para potências diz que:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 6

Por fim, substituímos (3x^4 - 2x)^55 + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

(3x^4 - 2x)^55 + C

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