- Prove que (Dica: Após aplicar a definição da derivada somar e subtrair ao numerador
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar a regra do produto das derivadas, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a encontrar a derivada de duas funções multiplicadas entre si. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicá-la na situação de duas funções multiplicadas. A dica sugere usarmos a definição de derivada e, depois disso, somar e subtrair
no numerador para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de uma função
em um ponto
é definida como:
No caso, queremos encontrar a derivada do produto de duas funções, ou seja,
.
Passo 3
Aplicando a definição da derivada para o produto
, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a dica e adicionar e subtrair
no numerador:
Passo 5
Podemos separar essa expressão em duas frações:
Passo 6
Observamos que cada termo dentro do limite é uma derivada:
Passo 7
Reconhecendo que:
Substituímos na equação:
Resposta
Portanto, a derivada do produto das funções
e
é: