1. Prove que (Dica: Após aplicar a definição da derivada somar e subtrair ao numerador f(x+h) * g(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar a regra do produto das derivadas, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a encontrar a derivada de duas funções multiplicadas entre si. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicá-la na situação de duas funções multiplicadas. A dica sugere usarmos a definição de derivada e, depois disso, somar e subtrair no numerador para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de uma função em um ponto é definida como:
No caso, queremos encontrar a derivada do produto de duas funções, ou seja, .

Passo 3

Aplicando a definição da derivada para o produto , temos:

Passo 4

Agora, vamos usar a dica e adicionar e subtrair no numerador:

Passo 5

Podemos separar essa expressão em duas frações:

Passo 6

Observamos que cada termo dentro do limite é uma derivada:

Passo 7

Reconhecendo que:
Substituímos na equação:

Resposta

Portanto, a derivada do produto das funções e é:

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