Resolva as seguintes inequações: (x^2 - x - 6) * (x^2 - 6*x + 5) < 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação (x^2 - x - 6) * (x^2 - 6*x + 5) < 0. Aqui estamos lidando com inequações algébricas, especificamente produtos de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fatorar os polinômios, encontrar os pontos onde cada fator é zero e analisar os sinais em cada intervalo formado por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar cada polinômio dentro da inequação. Vamos começar com o primeiro polinômio .
Para fatorar , procuramos dois números que multiplicados dêem -6 e somados dêem -1. Esses números são -3 e +2. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o segundo polinômio .
Buscamos dois números que multiplicados resultem em +5 e somados resultem em -6. Esses números são -1 e -5. Assim:

Passo 4

Com os polinômios fatorados, podemos reescrever a inequação original:
Os pontos onde a expressão iguala a zero são , x = 1, e . Esses pontos dividem a reta real em cinco intervalos:

Passo 5

Vamos determinar o sinal da expressão em cada intervalo. Para isso, escolhemos um número de teste em cada intervalo e verificamos o sinal de cada fator:
  1. Intervalo (por exemplo, ):
    • (negativo)
    • (negativo)
    • (negativo)
    • (negativo)
    • Produto:
  2. Intervalo (por exemplo, x = 0):
    • (negativo)
    • (positivo)
    • (negativo)
    • (negativo)
    • Produto:
  3. Intervalo (por exemplo, x = 2):
    • (negativo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (negativo)
    • Produto:
  4. Intervalo (por exemplo, ):
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (negativo)
    • Produto:
  5. Intervalo (por exemplo, ):
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    • (positivo)
    • Produto:

Passo 6

Estamos procurando onde o produto é menor que zero, ou seja, onde é negativo. Observando os sinais:
  • Intervalo : Produto negativo
  • Intervalo : Produto negativo
Portanto, a solução da inequação é a união desses intervalos.

Resposta

A solução da inequação é ou , ou seja:

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