(2,5 pontos) Encontre o polinômio característico de A=[ccc2 & 2 & -5 0 & 4 & 2 0 & 0 & -1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o polinômio característico da matriz 2 & 2 & -5 0 & 4 & 2 0 & 0 & -1 . Isso está relacionado com o conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre polinômios característicos e autovalores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e é uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é definido como . Esse polinômio nos ajuda a encontrar os autovalores da matriz , que são os valores de que satisfazem a equação .

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade A - lambda I = 2 - lambda & 2 & -5 0 & 4 - lambda & 2 0 & 0 & -1 - lambda para uma matriz 3x3 é:
Subtraindo de , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = (2 - lambda) times (4 - lambda) times (-1 - lambda) . Para matrizes triangulares (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Nossa matriz é triangular superior, então:

Passo 5

Vamos agora multiplicar esses termos para obter o polinômio característico:
(2 - lambda)(4 - lambda)(-1 - lambda) = (2 - lambda)(4 - lambda)(-1 - lambda)
Primeiro, multiplicamos os dois primeiros termos:
(2 - lambda)(4 - lambda) = 8 - 2lambda - 4lambda + lambda^2 = lambda^2 - 6lambda + 8
Agora, multiplicamos esse resultado pelo terceiro termo:
(lambda^2 - 6lambda + 8)(-1 - lambda) = -lambda^2 + 6lambda -8 -lambda^3 +6lambda^2 -8lambda = -lambda^3 +5lambda^2 -2lambda -8

Resposta

O polinômio característico da matriz p(lambda) = -lambda^3 + 5lambda^2 - 2lambda - 8 é:

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