(2,5 pontos) Encontre o polinômio característico de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o polinômio característico da matriz 2 & 2 & -5 0 & 4 & 2 0 & 0 & -1 . Isso está relacionado com o conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre polinômios característicos e autovalores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e é uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é definido como . Esse polinômio nos ajuda a encontrar os autovalores da matriz , que são os valores de que satisfazem a equação .
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade A - lambda I = 2 - lambda & 2 & -5 0 & 4 - lambda & 2 0 & 0 & -1 - lambda para uma matriz 3x3 é:
Subtraindo de , temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = (2 - lambda) times (4 - lambda) times (-1 - lambda) . Para matrizes triangulares (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Nossa matriz é triangular superior, então:
Passo 5
Vamos agora multiplicar esses termos para obter o polinômio característico: