(2,0 pontos): Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região entre as curvas
e
ao redor do eixo
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar o volume de um sólido que é formado quando giramos a região entre as curvas
e
em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que envolve calcular integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pontos onde as duas curvas se encontram, pois isso nos dará os limites de integração. Vamos igualar as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então,
. Isso significa que os limites de integração serão de
a
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos discos. A fórmula para o volume
é:
Onde:
-
é a função de maior altura ( ) -
é a função de menor altura ( ) -
e são os limites de integração ( e )
Passo 4
Substituindo as funções e os limites na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:
Passo 7
Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Subtraindo os dois resultados:
Calculando os termos:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
(3,0 pontos): Calcule as seguintes integrais
$© .
$©
(2,0 pontos): Seja
e
contínua. Determine
termos de
.
Derive as seguintes funções usando as regras de derivação
Derive as seguintes funções usando as regras de derivação