(2,0 pontos): Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região entre as curvas e ao redor do eixo .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos encontrar o volume de um sólido que é formado quando giramos a região entre as curvas e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que envolve calcular integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos onde as duas curvas se encontram, pois isso nos dará os limites de integração. Vamos igualar as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, . Isso significa que os limites de integração serão de a .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos discos. A fórmula para o volume é:
Onde:
  • é a função de maior altura ( )
  • é a função de menor altura ( )
  • e são os limites de integração ( e )

Passo 4

Substituindo as funções e os limites na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:

Passo 7

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para :
Subtraindo os dois resultados:
Calculando os termos:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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.
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Derive as seguintes funções usando as regras de derivação
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