( 2,0 pontos) Identifique a cônica dada pela equação
e determine o seu centro, os seus focos e os seus vértices.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação
e precisa descobrir que tipo de cônica ela representa. Além disso, vamos encontrar o centro, os focos e os vértices dessa cônica. Para isso, vamos usar conhecimentos de algebra de cônicas, como completar o quadrado e identificar a forma padrão da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica. Vamos agrupar os termos de
:
Agora, vamos colocar os termos de
juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parênteses:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para a forma padrão. Adicionamos 8 em ambos os lados:
Essa é a forma padrão da hipérbole horizontal:
Comparando, temos:
- Centro
-
então -
então
Passo 5
Para encontrar os vértices, adicionamos e subtraímos
do centro na direção horizontal:
- Vértices:
ou e
Para os focos, usamos a relação
:
Então, os focos estão a
unidades do centro na direção horizontal:
- Focos:
ou e
Resposta
A equação
representa uma hipérbole com centro em
. Seus vértices são
e
, e os focos estão em
e
.
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