( 2,0 pontos) Identifique a cônica dada pela equação 8 x^2-y^2-16 x=0 e determine o seu centro, os seus focos e os seus vértices.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação e precisa descobrir que tipo de cônica ela representa. Além disso, vamos encontrar o centro, os focos e os vértices dessa cônica. Para isso, vamos usar conhecimentos de algebra de cônicas, como completar o quadrado e identificar a forma padrão da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica. Vamos agrupar os termos de 8x^2 - 16x - y^2 = 0 :
8x^2 - 16x = y^2
Agora, vamos colocar os termos de juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 8(x^2 - 2x) = y^2 . Primeiro, fatoramos o coeficiente de (-22)^2 = 1 :
8(x^2 - 2x + 1 - 1) = y^2
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos o coeficiente de 8((x - 1)^2 - 1) = y^2 , que é 8(x - 1)^2 - 8 = y^2 , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parênteses:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para a forma padrão. Adicionamos 8 em ambos os lados:
8(x - 1)^2 - y^2 = 8
(x - 1)^21 - y^28 = 1
Essa é a forma padrão da hipérbole horizontal:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando, temos:
  • Centro
  • então
  • então

Passo 5

Para encontrar os vértices, adicionamos e subtraímos c^2 = 1 + 8 = 9 Rightarrow c = 3 do centro na direção horizontal:
  • Vértices: ou e
Para os focos, usamos a relação :
Então, os focos estão a unidades do centro na direção horizontal:
  • Focos: ou e

Resposta

A equação representa uma hipérbole com centro em . Seus vértices são e , e os focos estão em e .

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