$(Vale 3,0 pontos) Sabendo que (Va<= 3,0 pontos) Sabendo que é uma transformação linear definida por é uma transformação linear definida por .
b) (Vale 1,0 ponto) Determine uma base da b) (Va<= 1,0 ponto) Determine uma base da .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear definida por . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para a imagem dessa transformação, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e como determinar a imagem delas usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a vetores de . Para encontrar uma base para , vamos montar a matriz associada a e encontrar suas colunas que geram a imagem.

Passo 3

A matriz associada à transformação A = 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 2 & -1 & 1 1 & 0 & 1 é formada pelas coordenadas de em termos das variáveis . Então, temos:
Cada coluna de corresponde à transformação de um vetor da base canônica de .

Passo 4

Agora, para encontrar uma base para , precisamos identificar quais colunas da matriz são linearmente independentes. Isso vai nos dar os vetores que realmente formam a base da imagem.

Passo 5

Vamos montar um sistema para verificar a independência das colunas. Colocamos as colunas de a 1021 + b -11-10 + c 0111 = 0000 como vetores e verificamos se algum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros:
Resolvendo esse sistema, descobrimos que apenas duas dessas colunas são necessárias para gerar a imagem.

Passo 6

Vamos supor que as primeiras duas colunas são independentes. Então, a base para 1021, -11-10 seria formada por esses dois vetores:

Resposta

Uma base para 1021, -11-10 é:

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