$(Vale 3,0 pontos) Sabendo que é uma transformação linear definida por .
b) (Vale 1,0 ponto) Determine uma base da .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear definida por . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para a imagem dessa transformação, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e como determinar a imagem delas usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a vetores de . Para encontrar uma base para , vamos montar a matriz associada a e encontrar suas colunas que geram a imagem.
Passo 3
A matriz associada à transformação é formada pelas coordenadas de em termos das variáveis . Então, temos:
Cada coluna de corresponde à transformação de um vetor da base canônica de .
Passo 4
Agora, para encontrar uma base para , precisamos identificar quais colunas da matriz são linearmente independentes. Isso vai nos dar os vetores que realmente formam a base da imagem.
Passo 5
Vamos montar um sistema para verificar a independência das colunas. Colocamos as colunas de como vetores e verificamos se algum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros:
Resolvendo esse sistema, descobrimos que apenas duas dessas colunas são necessárias para gerar a imagem.
Passo 6
Vamos supor que as primeiras duas colunas são independentes. Então, a base para seria formada por esses dois vetores: