Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a sequência e queremos saber se ela converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de limites e propriedades de funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador da nossa sequência separadamente. O numerador é e o denominador é .

Passo 3

Sabemos que a função seno, , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Quando elevamos ao quadrado, , o valor fica entre 0 e 1. Então, .

Passo 4

Agora, olhamos para o denominador, . Essa é uma função exponencial que cresce muito rapidamente conforme aumenta. Quanto maior o , muito maior fica .

Passo 5

Vamos juntar essas informações na nossa sequência:
Então, temos que está sempre entre 0 e .

Passo 6

Agora, sabemos que tende a 0 quando tende ao infinito, porque o denominador cresce sem limites. Portanto:

Passo 7

Além disso, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Comparações), se uma sequência está sempre entre duas sequências que convergem para o mesmo limite, então a sequência no meio também converge para esse limite. Como está entre 0 e , e ambas tendem a 0, então:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

Exercícios relacionados

Encontre o ponto terminal, , no círculo unitário determinado pelos seguintes valores de .
(d)
Se os pontos de inflexão são aqueles onde a função muda a concavidade, apresente os pontos de inflexão da função abaixo, descrevendo onde a concavidade é para baixo e para cima.
.
Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.