Quais das sequências
nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a sequência
e queremos saber se ela converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de limites e propriedades de funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador da nossa sequência separadamente. O numerador é
e o denominador é
.
Passo 3
Sabemos que a função seno,
, oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Quando elevamos ao quadrado,
, o valor fica entre 0 e 1. Então,
.
Passo 4
Agora, olhamos para o denominador,
. Essa é uma função exponencial que cresce muito rapidamente conforme
aumenta. Quanto maior o
, muito maior fica
.
Passo 5
Vamos juntar essas informações na nossa sequência:
Então, temos que
está sempre entre 0 e
.
Passo 6
Agora, sabemos que
tende a 0 quando
tende ao infinito, porque o denominador cresce sem limites. Portanto:
Passo 7
Além disso, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Comparações), se uma sequência está sempre entre duas sequências que convergem para o mesmo limite, então a sequência no meio também converge para esse limite. Como
está entre 0 e
, e ambas tendem a 0, então:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 0.
Exercícios relacionados
Encontre o ponto terminal,
, no círculo unitário determinado pelos seguintes valores de
.
(d)
(d)
Se os pontos de inflexão são aqueles onde a função muda a concavidade, apresente os pontos de inflexão da função abaixo, descrevendo onde a concavidade é para baixo e para cima.
.
Quais das sequências
nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Quais das sequências
nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.