Verifique se as integrais impróprias convergem ou divergem:
b) integrale^+infty d xx ln x

Passo 1

Vamos verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral é do tipo , onde . Para analisar a convergência, podemos fazer uma substituição que simplifique a expressão.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Então, a derivada de em relação a é . Isso significa que .

Passo 4

Substituindo na integral original:
integrale^+infty dxx ln x = integralln e^+infty x , dux cdot u = integral1^+infty duu
Isso simplifica para .

Passo 5

Agora, temos a integral integral1^+infty duu = limb to +infty [ ln u ]1^b = limb to +infty (ln b - ln 1) , que é uma integral conhecida. A antiderivada de é . Portanto:

Passo 6

Calculando os limites:
ln 1 = 0 e limb to +infty ln b = +infty
Então, a diferença tende a quando cresce sem limites.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados