(9,0 pontos) Integre as seguintes funções:
© integral(5 x^4-3 x+7) ln x d x

Passo 1

Beleza, temos que integrar a função em relação a . Isso envolve cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como separar a função em partes que consigamos integrar e derivar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos usar na integração por partes. A fórmula para integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher porque a derivada de é mais simples, e porque podemos integrar facilmente esse polinômio.

Passo 3

Agora, vamos derivar u = ln x Rightarrow du = 1x dx e integrar dv = (5x^4 - 3x + 7) dx Rightarrow v = integral (5x^4 - 3x + 7) dx = x^5 - 32x^2 + 7x :
Calculamos integrando cada termo individualmente.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral (5x^4 - 3x + 7) ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln x ( x^5 - 32x^2 + 7x ) - integral ( x^5 - 32x^2 + 7x ) cdot 1x dx

Passo 5

Vamos simplificar a segunda integral:
integral ( x^5 - 32x^2 + 7x ) cdot 1x dx = integral ( x^4 - 32x + 7 ) dx
Agora, integramos cada termo:
integral x^4 dx = x^55, integral -32x dx = -34x^2, integral 7 dx = 7x
Portanto:
integral ( x^4 - 32x + 7 ) dx = x^55 - 34x^2 + 7x + C

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
ln x ( x^5 - 32x^2 + 7x ) - ( x^55 - 34x^2 + 7x ) + C
Podemos simplificar unindo tudo:
ln x ( x^5 - 32x^2 + 7x ) - x^55 + 34x^2 - 7x + C

Resposta

integral (5x^4 - 3x + 7) ln x , dx = ln x ( x^5 - 32x^2 + 7x ) - x^55 + 34x^2 - 7x + C

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