(9,0 pontos) Integre as seguintes funções:
(d) integral sen^5(3 x) cos ^6(3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos integrar a função integral sin^5(3x) cos^6(3x) , dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve potências ímpares de seno e potências pares de cosseno. Vamos usar identidades trigonométricas e substituição para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como o expoente de seno é ímpar (5), podemos separar uma potência de seno para facilitar a substituição. Escrevemos sin^5(3x) como sin^4(3x) cdot sin(3x).

Passo 3

Agora, aplicamos a identidade sin^2(θ) = 1 - cos^2(θ) para sin^4(3x). Então:
sin^4(3x) = (sin^2(3x))^2 = (1 - cos^2(3x))^2

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral sin^5(3x) cos^6(3x) , dx = integral (1 - cos^2(3x))^2 sin(3x) cos^6(3x) , dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(1 - cos^2(3x))^2 cos^6(3x) = cos^6(3x) (1 - 2cos^2(3x) + cos^4(3x)) = cos^6(3x) - 2cos^8(3x) + cos^10(3x)
Então, a integral fica:
integral (cos^6(3x) - 2cos^8(3x) + cos^10(3x)) sin(3x) , dx

Passo 6

Agora, fazemos a substitui��ão u = cos(3x), então du/dx = -3sin(3x), ou seja, sin(3x) dx = -13 du.

Passo 7

Substituindo na integral:
-13 integral (u^6 - 2u^8 + u^10) , du

Passo 8

Integrando termo a termo:
-13 (u^77 - 2cdotu^99 + u^1111) + C

Passo 9

Substituindo u = cos(3x) de volta:
-13 (cos^7(3x)7 - 2cos^9(3x)9 + cos^11(3x)11) + C

Resposta

-121 cos^7(3x) + 227 cos^9(3x) - 133 cos^11(3x) + C

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