(9,0 pontos) Integre as seguintes funções:
-(f) integral 1x raizx^2-9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral que você enviou:
integral 1x raizx^2-9 , dx
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente em Integração por Substituição Trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender como utilizar substituições trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
x = 3 sec(theta)
Isso significa que é o ângulo cujo secante é . Com essa substituição, conseguimos simplificar .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dx = 3 sec(theta) tan(theta) , dtheta em relação a para substituir na integral:

Passo 4

Substituindo integral 13 sec(theta) cdot raiz(3 sec(theta))^2 - 9 cdot 3 sec(theta) tan(theta) , dtheta e raiz9 sec^2(theta) - 9 = raiz9 (sec^2(theta) - 1) = raiz9 tan^2(theta) = 3 tan(theta) na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral 13 sec(theta) cdot 3 tan(theta) cdot 3 sec(theta) tan(theta) , dtheta = integral 19 sec(theta) tan(theta) cdot 3 sec(theta) tan(theta) , dtheta
Isso simplifica para:
integral 39 , dtheta = integral 13 , dtheta = 13 theta + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x = 3 sec(theta) Rightarrow sec(theta) = x3 Rightarrow theta = sec^-1(x3) . Lembrando que:
13 theta + C = 13 sec^-1(x3) + C
Portanto, substituindo de volta:

Resposta

integral 1x raizx^2-9 , dx = 13 sec^-1(x3) + C

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