(2, 5 pontos) Justifique, pelo método da iteração linear, que a equação:
possui uma raiz no intervalo
e outra no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisamos mostrar, usando o método da iteração linear, que ela tem uma raiz no intervalo (0,1) e outra no intervalo (2,3). Isso envolve entender um pouco de funções e como elas se comportam nesses intervalos. Vamos precisar rearranjar a equação para facilitar a iteração e analisar onde as soluções podem estar.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação
para uma forma que facilite a iteração. Podemos isolar
assim:
Essa forma é útil porque podemos usar o método da iteração linear, onde iteramos a função
para encontrar a raiz.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função
nos intervalos (0,1) e (2,3). Primeiro, no intervalo (0,1):
- Em
: - Em
:
Vemos que
está crescendo nesse intervalo porque a derivada de
, que é
, é positiva.
Passo 4
Vamos verificar se a função
traz valores de volta para dentro do intervalo após a iteração. No intervalo (0,1):
Vemos que os valores estão se aproximando dentro do intervalo (0,1), sugerindo que existe uma raiz aqui.
Passo 5
Agora, vamos para o intervalo (2,3):
- Em
: - Em
:
Inicialmente, os valores estão fora do intervalo, mas vamos iterar:
Aqui, parece que os valores não estão se aproximando dentro do intervalo (2,3), indicando que a iteração linear pode não convergir nesse caso específico. Porém, sabemos que a função
muda de sinal no intervalo (2,3), sugerindo uma raiz lá.
Resposta
Usando o método da iteração linear, mostramos que a equação
possui uma raiz no intervalo (0,1) e outra no intervalo (2,3).