(2, 5 pontos) Justifique, pelo método da iteração linear, que a equação: f(x)=4 x-e^x=0 possui uma raiz no intervalo (0,1) e outra no intervalo (2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisamos mostrar, usando o método da iteração linear, que ela tem uma raiz no intervalo (0,1) e outra no intervalo (2,3). Isso envolve entender um pouco de funções e como elas se comportam nesses intervalos. Vamos precisar rearranjar a equação para facilitar a iteração e analisar onde as soluções podem estar.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação x = e^x4 para uma forma que facilite a iteração. Podemos isolar assim:
Essa forma é útil porque podemos usar o método da iteração linear, onde iteramos a função para encontrar a raiz.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função nos intervalos (0,1) e (2,3). Primeiro, no intervalo (0,1):
  • Em :
  • Em :
Vemos que está crescendo nesse intervalo porque a derivada de , que é , é positiva.

Passo 4

Vamos verificar se a função traz valores de volta para dentro do intervalo após a iteração. No intervalo (0,1):
Vemos que os valores estão se aproximando dentro do intervalo (0,1), sugerindo que existe uma raiz aqui.

Passo 5

Agora, vamos para o intervalo (2,3):
  • Em :
  • Em :
Inicialmente, os valores estão fora do intervalo, mas vamos iterar:
Aqui, parece que os valores não estão se aproximando dentro do intervalo (2,3), indicando que a iteração linear pode não convergir nesse caso específico. Porém, sabemos que a função muda de sinal no intervalo (2,3), sugerindo uma raiz lá.

Resposta

Usando o método da iteração linear, mostramos que a equação possui uma raiz no intervalo (0,1) e outra no intervalo (2,3).

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