6a. Calcule
sendo dados:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla de uma função
sobre uma região
definida por
e
. Isso envolve entender integrais duplas, limites de integração e como a função se comporta na região definida.
Passo 2
Primeiro, precisamos visualizar a região
. Sabemos que
significa que estamos olhando para o lado direito do eixo y. A condição
nos diz que, para cada valor de
,
varia de
até
. Então, nossa região está limitada pela parábola
abaixo e pela linha horizontal
acima.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Como
varia de
a
para cada
, precisamos determinar os limites de
. Quando
, a parábola
nos dá
. Portanto,
vai de 0 a
.
Passo 4
Com isso, a integral dupla fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral de
:
Podemos simplificar tirando o sinal negativo:
Passo 7
Para resolver essa integral, usamos uma substituição
. Então,
ou
. Os limites de
vão de 0 a
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
A integral de
é
, então: