6a. Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y sendo dados: f(x, y)=x cos y e B=(x, y) in R^2 mid x >= 0, x^2 <= y <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla de uma função sobre uma região definida por e . Isso envolve entender integrais duplas, limites de integração e como a função se comporta na região definida.

Passo 2

Primeiro, precisamos visualizar a região . Sabemos que significa que estamos olhando para o lado direito do eixo y. A condição nos diz que, para cada valor de , varia de até . Então, nossa região está limitada pela parábola abaixo e pela linha horizontal acima.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como varia de a para cada , precisamos determinar os limites de . Quando , a parábola nos dá . Portanto, vai de 0 a .

Passo 4

Com isso, a integral dupla fica:
integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integral0^raizpi integralx^2^pi x cos y , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a integralx^2^pi x cos y , dy = x [ sin y ]x^2^pi = x (sin pi - sin x^2) = x (0 - sin x^2) = -x sin x^2 :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral de integral0^raizpi -x sin x^2 , dx :
- integral0^raizpi x sin x^2 , dx
Podemos simplificar tirando o sinal negativo:

Passo 7

Para resolver essa integral, usamos uma substituição . Então, ou . Os limites de vão de 0 a .

Passo 8

Substituindo na integral:
- integral0^pi 12 sin u , du = -12 integral0^pi sin u , du

Passo 9

A integral de - 12 [ -cos u ]0^pi = -12 ( -cos pi + cos 0 ) = -12 ( -(-1) + 1 ) = -12 (1 + 1) = -12 times 2 = -1 é , então:

Resposta

-1

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