Use o método de Newton-Raphson para encontrar o vetor solução do sistema de equações não-lineares formado pelas funções
. A solução começa com
e
. Realize as cinco primeiras iterações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações não-lineares usando o método de Newton-Raphson. As equações que temos são:
O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para encontrar as raízes de um sistema de equações não-lineares. Precisamos calcular as derivadas parciais das funções em relação a
e
para formar a matriz jacobiana. Vamos começar com
e
e realizar cinco iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais das funções
e
:
Essas derivadas formam a matriz jacobiana
:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a primeira iteração do método de Newton-Raphson usando os valores iniciais
e
.
Primeiro, calculamos os valores das funções:
Então, a matriz jacobiana no ponto
é:
Em seguida, calculamos o determinante da jacobiana:
Agora, usamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
Calculando a inversa de
:
Multiplicando
pelo vetor das funções:
Portanto:
Simplificando as frações:
Passo 4
Segunda Iteração
Agora, usamos
e
como novos valores para
e
.
Calculamos as funções:
Matriz jacobiana no ponto
:
Determinante de
:
Calculando a inversa de
:
Multiplicando
pelo vetor das funções:
Calculando os produtos:
Portanto:
Passo 5
Terceira Iteração
Usando
e
:
Calculamos as funções:
Matriz jacobiana no ponto
:
Determinante de
:
Inversa de
:
Multiplicando
pelo vetor das funções:
Calculando os produtos:
Portanto:
Passo 6
Quarta Iteração
Com
e
:
Calculamos as funções:
Matriz jacobiana no ponto
:
Determinante de
:
Inversa de
:
Multiplicando
pelo vetor das funções:
Calculando os produtos:
Portanto:
Passo 7
Quinta Iteração
Com
e
:
Calculamos as funções:
Matriz jacobiana no ponto
:
Determinante de
:
Inversa de
:
Multiplicando
pelo vetor das funções:
Calculando os produtos:
Portanto:
Resposta
Após realizar as cinco primeiras iterações do método de Newton-Raphson, o vetor solução aproximado do sistema de equações é: