Use o método de Newton-Raphson para encontrar o vetor solução do sistema de equações não-lineares formado pelas funções f1(x, y)=4 x^2-y^3+28=0 e f2(x, y)=3 x^3+4 y^2-145=0. A solução começa com x1=1 e yi=1. Realize as cinco primeiras iterações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações não-lineares usando o método de Newton-Raphson. As equações que temos são:
f1(x, y) = 4x^2 - y^3 + 28 = 0
f2(x, y) = 3x^3 + 4y^2 - 145 = 0
O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para encontrar as raízes de um sistema de equações não-lineares. Precisamos calcular as derivadas parciais das funções em relação a e para formar a matriz jacobiana. Vamos começar com e e realizar cinco iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais das funções partial f1partial x = 8x e partial f1partial y = -3y^2 :
partial f2partial x = 9x^2
partial f2partial y = 8y
J = 8x & -3y^2 9x^2 & 8y
Essas derivadas formam a matriz jacobiana :

Passo 3

Agora, vamos aplicar a primeira iteração do método de Newton-Raphson usando os valores iniciais f1(1, 1) = 4(1)^2 - (1)^3 + 28 = 4 - 1 + 28 = 31 e f2(1, 1) = 3(1)^3 + 4(1)^2 - 145 = 3 + 4 - 145 = -138 .
Primeiro, calculamos os valores das funções:
J = 8(1) & -3(1)^2 9(1)^2 & 8(1) = 8 & -3 9 & 8
det(J) = (8)(8) - (-3)(9) = 64 + 27 = 91
Então, a matriz jacobiana no ponto x2 y2 = x1 y1 - J^-1 f1(x1, y1) f2(x1, y1) é:
J^-1 = 1det(J) 8 & 3 -9 & 8 = 191 8 & 3 -9 & 8
Em seguida, calculamos o determinante da jacobiana:
J^-1 31 -138 = 191 8(31) + 3(-138) -9(31) + 8(-138) = 191 248 - 414 -279 - 1104 = 191 -166 -1383
Agora, usamos a fórmula do método de Newton-Raphson:
x2 y2 = 1 1 - -166/91 -1383/91 = 1 + 166/91 1 + 1383/91 = (91 + 166)/91 (91 + 1383)/91 = 257/91 1474/91
Calculando a inversa de x2 approx 2.824 e y2 approx 16.198 :
Multiplicando pelo vetor das funções:
Portanto:
Simplificando as frações:

Passo 4

Segunda Iteração
Agora, usamos f1(2.824, 16.198) = 4(2.824)^2 - (16.198)^3 + 28 approx 4(7.975) - 4242.13 + 28 approx 31.9 - 4242.13 + 28 approx -4182.23 e f2(2.824, 16.198) = 3(2.824)^3 + 4(16.198)^2 - 145 approx 3(22.52) + 4(262.35) - 145 approx 67.56 + 1049.4 - 145 approx 972.96 como novos valores para J = 8(2.824) & -3(16.198)^2 9(2.824)^2 & 8(16.198) approx 22.592 & -784.67 71.83 & 129.58 e det(J) approx (22.592)(129.58) - (-784.67)(71.83) approx 2928.65 + 56378.78 approx 59307.43 .
Calculamos as funções:
J^-1 approx 159307.43 129.58 & 784.67 -71.83 & 22.592
J^-1 -4182.23 972.96 approx 159307.43 129.58(-4182.23) + 784.67(972.96) -71.83(-4182.23) + 22.592(972.96)
Matriz jacobiana no ponto = 159307.43 -542,012.5 + 763,074.4 300,208.2 + 21,945.2 = 159307.43 221,061.9 322,153.4 :
x3 y3 = 2.824 16.198 - 221,061.9 / 59307.43 322,153.4 / 59307.43 approx 2.824 - 3.73 16.198 - 5.43 = -0.906 10.767
Determinante de :
Calculando a inversa de :
Multiplicando pelo vetor das funções:
Calculando os produtos:
Portanto:

Passo 5

Terceira Iteração
Usando f1(-0.906, 10.767) = 4(-0.906)^2 - (10.767)^3 + 28 approx 4(0.821) - 1248.65 + 28 approx 3.284 - 1248.65 + 28 approx -1217.37 e f2(-0.906, 10.767) = 3(-0.906)^3 + 4(10.767)^2 - 145 approx 3(-0.742) + 4(116.14) - 145 approx -2.226 + 464.56 - 145 approx 317.334 :
Calculamos as funções:
J = 8(-0.906) & -3(10.767)^2 9(-0.906)^2 & 8(10.767) approx -7.248 & -348.49 7.364 & 86.136
det(J) approx (-7.248)(86.136) - (-348.49)(7.364) approx -624.00 + 2561.98 approx 1937.98
Matriz jacobiana no ponto J^-1 approx 11937.98 86.136 & 348.49 -7.364 & -7.248 :
J^-1 -1217.37 317.334 approx 11937.98 86.136(-1217.37) + 348.49(317.334) -7.364(-1217.37) + (-7.248)(317.334)
Determinante de = 11937.98 -104,643.1 + 110,594.6 8,984.5 - 2,298.5 = 11937.98 5,951.5 6,686.0 :
x4 y4 = -0.906 10.767 - 5,951.5 / 1937.98 6,686.0 / 1937.98 approx -0.906 - 3.07 10.767 - 3.45 = -3.976 7.317
Inversa de :
Multiplicando pelo vetor das funções:
Calculando os produtos:
Portanto:

Passo 6

Quarta Iteração
Com f1(-3.976, 7.317) = 4(-3.976)^2 - (7.317)^3 + 28 approx 4(15.809) - 389.21 + 28 approx 63.236 - 389.21 + 28 approx -297.974 e f2(-3.976, 7.317) = 3(-3.976)^3 + 4(7.317)^2 - 145 approx 3(-63.007) + 4(53.43) - 145 approx -189.021 + 213.72 - 145 approx -120.301 :
Calculamos as funções:
J = 8(-3.976) & -3(7.317)^2 9(-3.976)^2 & 8(7.317) approx -31.808 & -160.34 142.324 & 58.536
det(J) approx (-31.808)(58.536) - (-160.34)(142.324) approx -1,861.14 + 22,818.66 approx 20,957.52
Matriz jacobiana no ponto J^-1 approx 120,957.52 58.536 & 160.34 -142.324 & -31.808 :
J^-1 -297.974 -120.301 approx 120,957.52 58.536(-297.974) + 160.34(-120.301) -142.324(-297.974) + (-31.808)(-120.301)
Determinante de = 120,957.52 -17,454.2 - 19,267.9 42,375.0 + 3,826.5 = 120,957.52 -36,722.1 46,201.5 :
x5 y5 = -3.976 7.317 - -36,722.1 / 20,957.52 46,201.5 / 20,957.52 approx -3.976 + 1.75 7.317 - 2.20 = -2.226 5.117
Inversa de :
Multiplicando pelo vetor das funções:
Calculando os produtos:
Portanto:

Passo 7

Quinta Iteração
Com f1(-2.226, 5.117) = 4(-2.226)^2 - (5.117)^3 + 28 approx 4(4.957) - 133.72 + 28 approx 19.828 - 133.72 + 28 approx -85.892 e f2(-2.226, 5.117) = 3(-2.226)^3 + 4(5.117)^2 - 145 approx 3(-11.03) + 4(26.19) - 145 approx -33.09 + 104.76 - 145 approx -73.33 :
Calculamos as funções:
J = 8(-2.226) & -3(5.117)^2 9(-2.226)^2 & 8(5.117) approx -17.808 & -78.45 44.65 & 40.936
det(J) approx (-17.808)(40.936) - (-78.45)(44.65) approx -729.24 + 3503.04 approx 2773.8
Matriz jacobiana no ponto J^-1 approx 12773.8 40.936 & 78.45 -44.65 & -17.808 :
J^-1 -85.892 -73.33 approx 12773.8 40.936(-85.892) + 78.45(-73.33) -44.65(-85.892) + (-17.808)(-73.33)
Determinante de = 12773.8 -3,507.7 - 5,749.0 3,829.1 + 1,305.0 = 12773.8 -9,256.7 5,134.1 :
x6 y6 = -2.226 5.117 - -9,256.7 / 2773.8 5,134.1 / 2773.8 approx -2.226 + 3.34 5.117 - 1.85 = 1.114 3.267
Inversa de :
Multiplicando pelo vetor das funções:
Calculando os produtos:
Portanto:

Resposta

Após realizar as cinco primeiras iterações do método de Newton-Raphson, o vetor solução aproximado do sistema de equações é:
x y approx 1.114 3.267

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