(2, 5 pontos) Usando o método de Newton, com erro inferior a 10^-2, determinar uma raiz das seguintes equações:
c) sen x-e^x=0,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação sin x - e^x = 0 usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de equações de forma iterativa. Para isso, vamos precisar da função original e da sua derivada. Nosso objetivo é encontrar um valor de x que faça sin x - e^x igual a zero, com um erro menor que 10^-2.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que vamos trabalhar e sua derivada. A função é:
f(x) = sin x - e^x
A derivada dessa função é:
f'(x) = cos x - e^x
Vamos usar essas duas expressões no Método de Newton.

Passo 3

Escolhemos um valor inicial, chamado de chute inicial. Vamos tentar x0 = 0 como ponto de partida. Agora aplicamos a fórmula do Método de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular x1 usando x0 = 0:
f(0) = sin(0) - e^0 = 0 - 1 = -1
f'(0) = cos(0) - e^0 = 1 - 1 = 0
Aqui, percebemos que f'(0) = 0, o que nos dá uma divisão por zero. Então, precisamos escolher outro chute inicial.

Passo 4

Vamos tentar com x0 = -1. Calculamos:
f(-1) = sin(-1) - e^-1 approx -0,8415 - 0,3679 = -1,2094
f'(-1) = cos(-1) - e^-1 approx 0,5403 - 0,3679 = 0,1724
Agora aplicamos a fórmula do Método de Newton:
x1 = -1 - -1,20940,1724 approx -1 + 7,011 approx 6,011
Esse valor parece muito distante, então vamos tentar outro chute.

Passo 5

Vamos tentar x0 = -0,5. Calculamos:
f(-0,5) = sin(-0,5) - e^-0,5 approx -0,4794 - 0,6065 = -1,0859
f'(-0,5) = cos(-0,5) - e^-0,5 approx 0,8776 - 0,6065 = 0,2711
Aplicando o Método de Newton:
x1 = -0,5 - -1,08590,2711 approx -0,5 + 4,004 approx 3,504
Ainda não estamos perto, então vamos escolher um chute inicial mais negativo.

Passo 6

Vamos agora com x0 = -2. Calculamos:
f(-2) = sin(-2) - e^-2 approx -0,9093 - 0,1353 = -1,0446
f'(-2) = cos(-2) - e^-2 approx -0,4161 - 0,1353 = -0,5514
Aplicando o método:
x1 = -2 - -1,0446-0,5514 approx -2 - 1,895 approx -3,895
Ainda não estamos convergindo, então vamos tentar outro chute.

Passo 7

Tentamos x0 = -0,75. Calculamos:
f(-0,75) = sin(-0,75) - e^-0,75 approx -0,6816 - 0,4724 = -1,154
f'(-0,75) = cos(-0,75) - e^-0,75 approx 0,7317 - 0,4724 = 0,2593
Aplicando o Método de Newton:
x1 = -0,75 - -1,1540,2593 approx -0,75 + 4,449 approx 3,699
Ainda não está funcionando bem. Vamos tentar x0 = -0,3.

Passo 8

Com x0 = -0,3, calculamos:
f(-0,3) = sin(-0,3) - e^-0,3 approx -0,2955 - 0,7408 = -1,0363
f'(-0,3) = cos(-0,3) - e^-0,3 approx 0,9553 - 0,7408 = 0,2145
Aplicando o método:
x1 = -0,3 - -1,03630,2145 approx -0,3 + 4,823 approx 4,523
Parece que o Método de Newton não está convergindo com esses chutes iniciais. Vamos tentar uma abordagem gráfica ou outra técnica para encontrar uma boa aproximação inicial.

Resposta

Após várias tentativas com diferentes chutes iniciais, percebemos que o Método de Newton não está convergindo facilmente para uma raiz da equação sin x - e^x = 0. Isso sugere que a função pode não ter raízes reais ou que precisamos de uma abordagem diferente para encontrar uma aproximação inicial adequada.

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