(2, 5 pontos) Usando o método de Newton, com erro inferior a
, determinar uma raiz das seguintes equações:
c)
,
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
usando o Método de Newton. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de equações de forma iterativa. Para isso, vamos precisar da função original e da sua derivada. Nosso objetivo é encontrar um valor de
que faça
igual a zero, com um erro menor que
.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que vamos trabalhar e sua derivada. A função é:
A derivada dessa função é:
Vamos usar essas duas expressões no Método de Newton.
Passo 3
Escolhemos um valor inicial, chamado de chute inicial. Vamos tentar
como ponto de partida. Agora aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Vamos calcular
usando
:
Aqui, percebemos que
, o que nos dá uma divisão por zero. Então, precisamos escolher outro chute inicial.
Passo 4
Vamos tentar com
. Calculamos:
Agora aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Esse valor parece muito distante, então vamos tentar outro chute.
Passo 5
Vamos tentar
. Calculamos:
Aplicando o Método de Newton:
Ainda não estamos perto, então vamos escolher um chute inicial mais negativo.
Passo 6
Vamos agora com
. Calculamos:
Aplicando o método:
Ainda não estamos convergindo, então vamos tentar outro chute.
Passo 7
Tentamos
. Calculamos:
Aplicando o Método de Newton:
Ainda não está funcionando bem. Vamos tentar
.
Passo 8
Com
, calculamos:
Aplicando o método:
Parece que o Método de Newton não está convergindo com esses chutes iniciais. Vamos tentar uma abordagem gráfica ou outra técnica para encontrar uma boa aproximação inicial.
Resposta
Após várias tentativas com diferentes chutes iniciais, percebemos que o Método de Newton não está convergindo facilmente para uma raiz da equação
. Isso sugere que a função pode não ter raízes reais ou que precisamos de uma abordagem diferente para encontrar uma aproximação inicial adequada.