Usando artifícios matemáticos, resolver os limites:
lim x 1 x^3-3 x+2x^4-4 x+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve polinômios. O enunciado pede para encontrar o limite de x^3-3 x+2x^4-4 x+3 quando x se aproxima de 1. Para isso, vamos precisar entender como fatorar polinômios e simplificar expressões. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
1^3 - 3 cdot 1 + 21^4 - 4 cdot 1 + 3 = 1 - 3 + 21 - 4 + 3 = 00
A gente ficou com uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando temos 00, uma técnica legal é fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator comum. Vamos começar pelo numerador x^3 - 3x + 2.
Sabemos que se x = 1 faz o numerador ser zero, então (x - 1) é um fator. Vamos fazer a divisão polinomial ou usar a regra de fatoração para encontrar os outros fatores:
x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2)
Agora, fatorando x^2 + x - 2:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Então, o numerador fica:
x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x + 2)(x - 1) = (x - 1)^2(x + 2)

Passo 4

Vamos agora fatorar o denominador x^4 - 4x + 3. Novamente, sabemos que x = 1 anula o denominador, então (x - 1) é um fator:
x^4 - 4x + 3 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x - 3)
Agora, vamos ver se conseguimos fatorar mais esse polinômio. Testando x = 1 no polinômio x^3 + x^2 + x - 3:
1^3 + 1^2 + 1 - 3 = 1 + 1 + 1 - 3 = 0
Então, (x - 1) também é fator desse polinômio:
x^3 + x^2 + x - 3 = (x - 1)(x^2 + 2x + 3)
Portanto, o denominador fica:
x^4 - 4x + 3 = (x - 1)^2(x^2 + 2x + 3)

Passo 5

Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, vamos substituir de volta na expressão original:
x^3 - 3x + 2x^4 - 4x + 3 = (x - 1)^2(x + 2)(x - 1)^2(x^2 + 2x + 3)
Perceba que (x - 1)^2 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar:
(x - 1)^2(x + 2)(x - 1)^2(x^2 + 2x + 3) = x + 2x^2 + 2x + 3

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x = 1:
limx to 1 x + 2x^2 + 2x + 3 = 1 + 21^2 + 2 cdot 1 + 3 = 31 + 2 + 3 = 36 = 12

Resposta

O limite é 12.

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