Usando artifícios matemáticos, resolver os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve polinômios. O enunciado pede para encontrar o limite de
quando
se aproxima de 1. Para isso, vamos precisar entender como fatorar polinômios e simplificar expressões. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente ficou com uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Quando temos
, uma técnica legal é fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator comum. Vamos começar pelo numerador
.
Sabemos que se
faz o numerador ser zero, então
é um fator. Vamos fazer a divisão polinomial ou usar a regra de fatoração para encontrar os outros fatores:
Agora, fatorando
:
Então, o numerador fica:
Passo 4
Vamos agora fatorar o denominador
. Novamente, sabemos que
anula o denominador, então
é um fator:
Agora, vamos ver se conseguimos fatorar mais esse polinômio. Testando
no polinômio
:
Então,
também é fator desse polinômio:
Portanto, o denominador fica:
Passo 5
Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, vamos substituir de volta na expressão original:
Perceba que
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar:
Passo 6
Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O limite é
.