(2,0 pontos) Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular de .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a equação diferencial . O objetivo é encontrar uma solução particular dessa equação utilizando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, precisamos saber sobre equações diferenciais lineares não homogêneas e como aplicar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

O método dos coeficientes a determinar é uma técnica usada para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares não homogêneas quando o termo não homogêneo (lado direito da equação) é uma função específica, como exponenciais, senos, cossenos ou combinações delas. A ideia é supor uma forma para a solução particular com coeficientes desconhecidos e determinar esses coeficientes.

Passo 3

Observando o lado direito da equação, temos . Isso sugere que a solução particular terá a forma de um produto de uma exponencial e uma combinação de cosseno e seno. Portanto, vamos supor que a solução particular seja:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de para substituir na equação diferencial.
Primeira derivada:
Simplificando:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 5

Substituímos , e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 6

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Simplificando:
Para :
Para :
Então, temos:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 8

Com os valores de e encontrados, substituímos na expressão da solução particular:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Um tanque contem 100 litros de água salgada. É adicionado, neste tanque, água salgada à razão de 5 litros por minuto, com uma concentração de sal de . Ao mesmo tempo, a mistura deixa o tanque através de um buraco à mesma razão. A mistura do tanque é continuamente agitada, de modo a manter homogênea (isto é, a concentração é a mesma em todo o tanque). Se inicialmente a mistura contém uma concetração de , determine a concentração num instante futuro.
Estude o comportamento da concentração de sal no tanque, após um longo período de tempo (isto é, ). Represente geometricamente este comportamento.
Seja a massa de uma substância radiotiva num instante . Definine-se a atividade de uma amostra radioativa como sendo a taxa de variação da quantidade de massa que se decompõe por unidade de tempo. Observou-se que a atividade é proporcional à quantidade de massa presentes na amostra. Além disso, define-se a meia-vida de uma substância como sendo o tempo necessário para a decomposição da metade da substância.
Considerando que a quantidade de substância radioativa inicial é gramas e a meia-vida da quantidade inicial é 2.000 anos, encontre a quantidade da substância depois de 3.000 anos. (R: )
(2,0 pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(a) , com .
(2,0 pontos)
(a) Mostre que é uma solução de , . Daí encontre um conjunto fundamental de soluções.