(2,0 pontos) Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular de y'' - 3y' - 4y = -8e^t cos(2t).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a equação diferencial . O objetivo é encontrar uma solução particular dessa equação utilizando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, precisamos saber sobre equações diferenciais lineares não homogêneas e como aplicar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

O método dos coeficientes a determinar é uma técnica usada para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares não homogêneas quando o termo não homogêneo (lado direito da equação) é uma função específica, como exponenciais, senos, cossenos ou combinações delas. A ideia é supor uma forma para a solução particular com coeficientes desconhecidos e determinar esses coeficientes.

Passo 3

Observando o lado direito da equação, temos . Isso sugere que a solução particular terá a forma de um produto de uma exponencial e uma combinação de cosseno e seno. Portanto, vamos supor que a solução particular seja:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de para substituir na equação diferencial.
Primeira derivada:
Simplificando:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 5

Substituímos , e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 6

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Simplificando:
Para :
Para :
Então, temos:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 8

Com os valores de e encontrados, substituímos na expressão da solução particular:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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