(2,0 pontos) Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a equação diferencial
. O objetivo é encontrar uma solução particular dessa equação utilizando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, precisamos saber sobre equações diferenciais lineares não homogêneas e como aplicar o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
O método dos coeficientes a determinar é uma técnica usada para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares não homogêneas quando o termo não homogêneo (lado direito da equação) é uma função específica, como exponenciais, senos, cossenos ou combinações delas. A ideia é supor uma forma para a solução particular com coeficientes desconhecidos e determinar esses coeficientes.
Passo 3
Observando o lado direito da equação, temos
. Isso sugere que a solução particular terá a forma de um produto de uma exponencial e uma combinação de cosseno e seno. Portanto, vamos supor que a solução particular
seja:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
para substituir na equação diferencial.
Primeira derivada:
Simplificando:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 6
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Simplificando:
Para
:
Para
:
Então, temos:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 8
Com os valores de
e
encontrados, substituímos na expressão da solução particular:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: