(2 pontos) Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força central cuja energia potencial é
U(r)=K r^4, K>0
Encontre uma expressão para o período desse movimento em termos da massa, do raio e do momento angular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa m que está se movendo sob a ação de uma força central, ou seja, uma força que aponta sempre para o centro e depende da distância r até esse centro. A energia potencial dessa força é dada por U(r) = K r^4, onde K é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para o período desse movimento, que é o tempo que a partícula leva para completar uma órbita, em termos da massa m, do raio r e do momento angular L.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um movimento circular sob uma força central, o momento angular L é constante e está relacionado à velocidade tangencial v pela relação L = m v r. Como a força é derivada da energia potencial, podemos encontrar a força aplicando a relação F(r) = -dUdr. Vamos calcular isso:
F(r) = -dUdr = -ddr(K r^4) = -4 K r^3

Passo 3

Agora, para um movimento circular estável, essa força central deve fornecer a força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular. A força centrípeta é dada por m v^2r. Então, igualando a força central à força centrípeta, temos:
m v^2r = 4 K r^3

Passo 4

Vamos resolver essa equação para a velocidade v. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por r:
m v^2 = 4 K r^4
Agora, isolamos v^2:
v^2 = 4 K r^4m
E, por fim, tiramos a raiz quadrada para encontrar v:
v = raiz4 K r^4m = 2 r^2 raizKraizm

Passo 5

Sabemos que o período T é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa. Ele está relacionado com a velocidade tangencial e o comprimento da órbita. O comprimento da órbita circular é 2 pi r, então podemos escrever:
T = Comprimento da órbitaVelocidade = 2 pi rv ó
Substituindo a expressão de v que encontramos:
T = 2 pi r2 r^2 raizKraizm = 2 pi r raizm2 r^2 raizK = pi raizmr raizK

Passo 6

Agora, queremos expressar o período T em termos do momento angular L. Lembrando que L = m v r, podemos substituir v na expressão:
Resolvendo para L = m cdot 2 r^2 raizKraizm cdot r = 2 m r^3 raizKm = 2 r^3 raizm K :
raizm K

Passo 7

Finalmente, substituímos raizm K na expressão do período T:
T = pi raizmr raizK = pi raizmr cdot L2 r^3 = 2 pi r^2 raizmL

Resposta

O período do movimento é dado por
T = 2 pi r^2 raizmL

Exercícios relacionados