(2 pontos) Uma partícula de massa
move-se sob a ação de uma força central cuja energia potencial é
Encontre uma expressão para o período desse movimento em termos da massa, do raio e do momento angular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa
que está se movendo sob a ação de uma força central, ou seja, uma força que aponta sempre para o centro e depende da distância
até esse centro. A energia potencial dessa força é dada por
, onde
é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para o período desse movimento, que é o tempo que a partícula leva para completar uma órbita, em termos da massa
, do raio
e do momento angular
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um movimento circular sob uma força central, o momento angular
é constante e está relacionado à velocidade tangencial
pela relação
. Como a força é derivada da energia potencial, podemos encontrar a força aplicando a relação
. Vamos calcular isso:
Passo 3
Agora, para um movimento circular estável, essa força central deve fornecer a força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular. A força centrípeta é dada por
. Então, igualando a força central à força centrípeta, temos:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para a velocidade
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
E, por fim, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Passo 5
Sabemos que o período
é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa. Ele está relacionado com a velocidade tangencial e o comprimento da órbita. O comprimento da órbita circular é
, então podemos escrever:
Substituindo a expressão de
que encontramos:
Passo 6
Agora, queremos expressar o período
em termos do momento angular
. Lembrando que
, podemos substituir
na expressão:
Resolvendo para
:
Passo 7
Finalmente, substituímos
na expressão do período
:
Resposta
O período do movimento é dado por