(2,5 pontos) Uma placa de espessura L tem uma distribuição inicial de temperatura Ti=T0 cos [(pi x) / 2 L]. Em t>0, a superfície em x=0 é mantida isolada, e em x=L está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a 25^circ C.
a) Desenvolva uma expressão da distribuição de temperatura unidimensional, dependente do tempo T(x, t) na placa.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa com espessura que, inicialmente, possui uma distribuição de temperatura dada por . Quando o tempo , a superfície em fica isolada, ou seja, não troca calor com o ambiente. Já a superfície em troca calor por convecção com um fluido cuja temperatura da corrente livre é e o coeficiente de transferência de calor é muito alto. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a distribuição de temperatura na placa ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar a equação de condução de calor unidimensional e aplicar as condições iniciais e de contorno fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de condução de calor unidimensional para uma placa homogênea e isotrópica:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2
Aqui, é a difusividade térmica do material da placa.

Passo 3

Agora, identificamos as condições iniciais e de contorno:
  • Condição Inicial:
    T(x, 0) = T0 cos(pi x2L)
  • Condições de Contorno:
    • Em partial Tpartial x|x=0 = 0 (superfície isolada):
      T(L, t) = 25^circ C
    • Em (troca de calor por convecção com e muito grande):
      Quando o coeficiente de transferência de calor tende ao infinito, a condição de contorno se torna uma condição de Dirichlet:

Passo 4

Para resolver a equação de calor com essas condições, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma dependente de T(x, t) = X(x) cdot Theta(t) e outra de X(x) dThetadt = alpha Theta(t) d^2 Xdx^2 :
1Theta(t) dThetadt = alpha 1X(x) d^2 Xdx^2 = -lambda
Substituindo na equação de condução de calor:
Dividindo ambos os lados por :
Onde é uma constante de separação.

Passo 5

Dessa forma, temos duas equações ordinárias:
  1. Equação Temporal:
    dThetadt + alpha lambda Theta = 0
    A solução geral dessa equação é:
    Theta(t) = Theta0 e^-alpha lambda t
  2. Equação Espacial:
    d^2 Xdx^2 + lambda X = 0
    A solução geral dessa equação depende do valor de . Para obter soluções não triviais, aplicamos as condições de contorno.

Passo 6

Aplicando as condições de contorno na solução espacial dXdx|x=0 = 0 :
  • Em X(L) = 25Theta(t) :
    T(x, t) = Thomogênea(x, t) + Tparticular
  • Em :
    No entanto, como é muito grande, a temperatura na superfície é fixada, então podemos considerar uma soma da solução homogênea com uma solução particular constante:
    ê
    Onde .

Passo 7

A solução homogênea deve satisfazer as condições de contorno homogêneas:
Thomogênea(L, t) = 0 ê
E a condição de isolamento em partial Thomogêneapartial x|x=0 = 0 :
ê
Usamos a separação de variáveis para encontrar uma série de soluções que atendem essas condições.

Passo 8

Considerando a série de Fourier para a solução homogênea, podemos expressar:
Thomogênea(x, t) = sumn=1^infty Bn cos((2n-1)pi x2L) e^-alpha ((2n-1)pi2L)^2 t ê
Os coeficientes Thomogênea(x, t) = T0 cos(pi x2L) e^-alpha (pi2L)^2 t são determinados pela condição inicial. Dado que a condição inicial é , apenas o termo é necessário:
ê

Passo 9

Finalmente, somando a solução homogênea com a solução particular, obtemos a distribuição de temperatura completa:
T(x, t) = T0 cos(pi x2L) e^-alpha (pi2L)^2 t + 25

Resposta

A distribuição de temperatura unidimensional na placa ao longo do tempo é dada por:
T(x, t) = T0 cos(pi x2L) e^-alpha (pi2L)^2 t + 25

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