(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
a) Desenvolva uma expressão da distribuição de temperatura unidimensional, dependente do tempo na placa.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa com espessura que, inicialmente, possui uma distribuição de temperatura dada por . Quando o tempo , a superfície em fica isolada, ou seja, não troca calor com o ambiente. Já a superfície em troca calor por convecção com um fluido cuja temperatura da corrente livre é e o coeficiente de transferência de calor é muito alto. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a distribuição de temperatura na placa ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar a equação de condução de calor unidimensional e aplicar as condições iniciais e de contorno fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de condução de calor unidimensional para uma placa homogênea e isotrópica:
Aqui, é a difusividade térmica do material da placa.
Passo 3
Agora, identificamos as condições iniciais e de contorno:
Condição Inicial:
Condições de Contorno:
Em (superfície isolada):
Em (troca de calor por convecção com e muito grande):
Quando o coeficiente de transferência de calor tende ao infinito, a condição de contorno se torna uma condição de Dirichlet:
Passo 4
Para resolver a equação de calor com essas condições, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma dependente de e outra de :
Substituindo na equação de condução de calor:
Dividindo ambos os lados por :
Onde é uma constante de separação.
Passo 5
Dessa forma, temos duas equações ordinárias:
Equação Temporal:
A solução geral dessa equação é:
Equação Espacial:
A solução geral dessa equação depende do valor de . Para obter soluções não triviais, aplicamos as condições de contorno.
Passo 6
Aplicando as condições de contorno na solução espacial :
Em :
Em :
No entanto, como é muito grande, a temperatura na superfície é fixada, então podemos considerar uma soma da solução homogênea com uma solução particular constante:
ê
Onde .
Passo 7
A solução homogênea deve satisfazer as condições de contorno homogêneas:
ê
E a condição de isolamento em :
ê
Usamos a separação de variáveis para encontrar uma série de soluções que atendem essas condições.
Passo 8
Considerando a série de Fourier para a solução homogênea, podemos expressar:
ê
Os coeficientes são determinados pela condição inicial. Dado que a condição inicial é , apenas o termo é necessário:
ê
Passo 9
Finalmente, somando a solução homogênea com a solução particular, obtemos a distribuição de temperatura completa:
Resposta
A distribuição de temperatura unidimensional na placa ao longo do tempo é dada por: