Suponha que a taxa de juros que um determinado banco europeu oferece, aos seus clientes, é de 6% ao ano, em regime de juros compostos. Determine: Quantos anos terá de esperar, o referido cliente, para obter um capital acumulado de 100.000 euros?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre juros compostos. A gente precisa descobrir quantos anos uma pessoa vai esperar para que seu dinheiro cresça até 100.000 euros, considerando uma taxa de juros de 6% ao ano. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula dos juros compostos e usar logaritmos para encontrar o tempo necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula dos juros compostos. Ela serve para calcular o valor futuro de um investimento, levando em conta que os juros são aplicados sobre o valor inicial mais os juros já acumulados. A fórmula é:
FV = PV times (1 + i)^t
Onde:
  • é o valor futuro (no caso, 100.000 euros).
  • é o valor presente ou inicial (o quanto a pessoa vai investir).
  • é a taxa de juros decimal (6% = 0,06).
  • é o tempo em anos que queremos descobrir.

Passo 3

Agora, precisamos isolar o tempo ( FVPV = (1 + i)^t ) na fórmula para descobrir quantos anos serão necessários. Primeiro, vamos dividir os dois lados da equação por :

Passo 4

Para facilitar, vamos chamar A = (1 + i)^t de ln(A) = ln((1 + i)^t) :
ln(A) = t times ln(1 + i)
Agora, para resolver para , vamos usar logaritmos. Aplicamos o logaritmo natural (ln) nos dois lados:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , temos:

Passo 5

Agora, isolamos t = ln(A)ln(1 + i) dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Vamos substituir t = ln(FVPV)ln(1 + i) de volta à expressão original, que é :

Passo 7

Agora, precisamos saber o valor inicial ( PV = 10.000 , euros ) que a pessoa vai investir. Como não foi fornecido no enunciado, vamos supor que a pessoa está começando com um valor inicial de 10.000 euros, por exemplo. Então:
FV = 100.000 , euros
i = 0,06

Passo 8

Substituindo esses valores na fórmula:
t = ln(100.00010.000)ln(1 + 0,06)
t = ln(10)ln(1,06)

Passo 9

Calculando os logaritmos:
ln(10) approx 2,302585
ln(1,06) approx 0,0582689
Então:
t = 2,3025850,0582689
t approx 39,54

Resposta

O cliente terá que esperar aproximadamente 40 anos para acumular 100.000 euros com uma taxa de juros de 6% ao ano em regime de juros compostos.

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