Suponha que a taxa de juros que um determinado banco europeu oferece, aos seus clientes, é de 6% ao ano, em regime de juros compostos. Determine: Quantos anos terá de esperar, o referido cliente, para obter um capital acumulado de 100.000 euros?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre juros compostos. A gente precisa descobrir quantos anos uma pessoa vai esperar para que seu dinheiro cresça até 100.000 euros, considerando uma taxa de juros de 6% ao ano. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula dos juros compostos e usar logaritmos para encontrar o tempo necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula dos juros compostos. Ela serve para calcular o valor futuro de um investimento, levando em conta que os juros são aplicados sobre o valor inicial mais os juros já acumulados. A fórmula é:
Onde:
-
é o valor futuro (no caso, 100.000 euros). -
é o valor presente ou inicial (o quanto a pessoa vai investir). -
é a taxa de juros decimal (6% = 0,06). -
é o tempo em anos que queremos descobrir.
Passo 3
Agora, precisamos isolar o tempo (
) na fórmula para descobrir quantos anos serão necessários. Primeiro, vamos dividir os dois lados da equação por
:
Passo 4
Para facilitar, vamos chamar
de
:
Agora, para resolver para
, vamos usar logaritmos. Aplicamos o logaritmo natural (ln) nos dois lados:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, temos:
Passo 5
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Vamos substituir
de volta à expressão original, que é
:
Passo 7
Agora, precisamos saber o valor inicial (
) que a pessoa vai investir. Como não foi fornecido no enunciado, vamos supor que a pessoa está começando com um valor inicial de 10.000 euros, por exemplo. Então:
Passo 8
Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 9
Calculando os logaritmos:
Então:
Resposta
O cliente terá que esperar aproximadamente 40 anos para acumular 100.000 euros com uma taxa de juros de 6% ao ano em regime de juros compostos.