(2,5 pontos) Uma placa de espessura L tem uma distribuição inicial de temperatura Ti=T0 cos [(pi x) / 2 L]. Em t>0, a superfície em x=0 é mantida isolada, e em x=L está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a 25^circ C.
c) Suponha que a placa está gerando calor com uma taxa por unidade de volume igual a g0. Mantendo as mesmas condições de contorno e a inicial. Determine a nova distribuição de temperatura T(x, t).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa com espessura que, inicialmente, tem uma distribuição de temperatura dada por . Quando o tempo , a superfície em está isolada (nenhum calor entra ou sai), e a superfície em está trocando calor por convecção com um fluido cuja temperatura é . Além disso, a placa está gerando calor internamente a uma taxa por unidade de volume igual a . Nosso objetivo é encontrar a nova distribuição de temperatura . Vamos usar conceitos de transferência de calor e resolver a equação do calor com geração interna.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do calor que inclui a geração de calor interna. A equação geral em uma dimensão é:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2 + g0rho cp
onde:
  • é a difusividade térmica do material,
  • é a densidade,
  • é a capacidade térmica à pressão constante.
Essa equação nos diz como a temperatura varia no tempo e no espaço dentro da placa, considerando a geração de calor .

Passo 3

Agora, vamos considerar as condições de contorno:
  1. Em partial Tpartial xg|x=0 = 0 (isolada):
    -k partial Tpartial xg|x=L = h ( T(L, t) - Tinfty )
    Isso significa que não há fluxo de calor através dessa superfície.
  2. Em (convecção):
    Onde:
    • é a condutividade térmica,
    • é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
    • é a temperatura do fluido.

Passo 4

Vamos procurar uma solução estacionária, onde 0 = alpha d^2 Tdx^2 + g0rho cp , já que estamos interessados na distribuição de temperatura após um tempo suficiente. Assim, a equação se simplifica para:
alpha dTdx = -g0rho cp x + C1
Integrando duas vezes em relação a alpha T(x) = -g02 rho cp x^2 + C1 x + C2 , temos:
Primeira integração:
T(x) = -g02 alpha rho cp x^2 + C1alpha x + C2alpha
Segunda integração:
T(x) = -g02 alpha rho cp x^2 + A x + B
Dividindo por :
Vamos chamar e , então:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes dTdxg|x=0 = 0 e dTdx = -g0alpha rho cp x + A .
  1. Condição em A = 0 :
    -k dTdxg|x=L = h ( T(L) - Tinfty )
    Calculando a derivada de -k ( -g0alpha rho cp L ) = h ( T(L) - 25 ) :
    k g0 Lalpha rho cp = h ( T(L) - 25 )
    Aplicando T(L) = -g02 alpha rho cp L^2 + B :
    k g0 Lalpha rho cp = h ( -g02 alpha rho cp L^2 + B - 25 )
  2. Condição em B = 25 + k g0 Lh alpha rho cp + g0 L^22 alpha rho cp :
    Substituindo e :
    Simplificando:
    Substituindo na expressão geral:
    Então:
    Resolvendo para :

Passo 6

Com T(x) = -g02 alpha rho cp x^2 + 25 + k g0 Lh alpha rho cp + g0 L^22 alpha rho cp e T(x) = 25 + g02 alpha rho cp (L^2 - x^2) + k g0 Lh alpha rho cp determinado, a distribuição de temperatura final é:
Podemos simplificar agrupando termos:

Resposta

A nova distribuição de temperatura na placa é dada por:
T(x) = 25 + g02 alpha rho cp (L^2 - x^2) + k g0 Lh alpha rho cp

Exercícios relacionados