(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
c) Suponha que a placa está gerando calor com uma taxa por unidade de volume igual a g0. Mantendo as mesmas condições de contorno e a inicial. Determine a nova distribuição de temperatura .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa com espessura que, inicialmente, tem uma distribuição de temperatura dada por . Quando o tempo , a superfície em está isolada (nenhum calor entra ou sai), e a superfície em está trocando calor por convecção com um fluido cuja temperatura é . Além disso, a placa está gerando calor internamente a uma taxa por unidade de volume igual a . Nosso objetivo é encontrar a nova distribuição de temperatura . Vamos usar conceitos de transferência de calor e resolver a equação do calor com geração interna.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do calor que inclui a geração de calor interna. A equação geral em uma dimensão é:
onde:
  • é a difusividade térmica do material,
  • é a densidade,
  • é a capacidade térmica à pressão constante.
Essa equação nos diz como a temperatura varia no tempo e no espaço dentro da placa, considerando a geração de calor .

Passo 3

Agora, vamos considerar as condições de contorno:
  1. Em (isolada):
    Isso significa que não há fluxo de calor através dessa superfície.
  2. Em (convecção):
    Onde:
    • é a condutividade térmica,
    • é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
    • é a temperatura do fluido.

Passo 4

Vamos procurar uma solução estacionária, onde , já que estamos interessados na distribuição de temperatura após um tempo suficiente. Assim, a equação se simplifica para:
Integrando duas vezes em relação a , temos:
Primeira integração:
Segunda integração:
Dividindo por :
Vamos chamar e , então:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes e .
  1. Condição em :
    Calculando a derivada de :
    Aplicando :
  2. Condição em :
    Substituindo e :
    Simplificando:
    Substituindo na expressão geral:
    Então:
    Resolvendo para :

Passo 6

Com e determinado, a distribuição de temperatura final é:
Podemos simplificar agrupando termos:

Resposta

A nova distribuição de temperatura na placa é dada por:

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(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
b) Calcule a temperatura da superfície isolada em t= e 2 h numa placa de espessura , e difusividade térmica . é obtido sorteando um valor entre 200 e 250.
(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
a) Desenvolva uma expressão da distribuição de temperatura unidimensional, dependente do tempo na placa.
(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
d) Calcule a temperatura da superfície isolada em t= e 2 h numa placa de espessura , e difusividade térmica , admitindo e .
( 2,5 pontos) Considere uma lâmpada comum.
a) Calcule a temperatura da superfície da lâmpada acesa no estado estacionário.