(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
c) Suponha que a placa está gerando calor com uma taxa por unidade de volume igual a g0. Mantendo as mesmas condições de contorno e a inicial. Determine a nova distribuição de temperatura .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa com espessura que, inicialmente, tem uma distribuição de temperatura dada por . Quando o tempo , a superfície em está isolada (nenhum calor entra ou sai), e a superfície em está trocando calor por convecção com um fluido cuja temperatura é . Além disso, a placa está gerando calor internamente a uma taxa por unidade de volume igual a . Nosso objetivo é encontrar a nova distribuição de temperatura . Vamos usar conceitos de transferência de calor e resolver a equação do calor com geração interna.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do calor que inclui a geração de calor interna. A equação geral em uma dimensão é:
onde:
é a difusividade térmica do material,
é a densidade,
é a capacidade térmica à pressão constante.
Essa equação nos diz como a temperatura varia no tempo e no espaço dentro da placa, considerando a geração de calor .
Passo 3
Agora, vamos considerar as condições de contorno:
Em (isolada):
Isso significa que não há fluxo de calor através dessa superfície.
Em (convecção):
Onde:
é a condutividade térmica,
é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
é a temperatura do fluido.
Passo 4
Vamos procurar uma solução estacionária, onde , já que estamos interessados na distribuição de temperatura após um tempo suficiente. Assim, a equação se simplifica para:
Integrando duas vezes em relação a , temos:
Primeira integração:
Segunda integração:
Dividindo por :
Vamos chamar e , então:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes e .
Condição em :
Calculando a derivada de :
Aplicando :
Condição em :
Substituindo e :
Simplificando:
Substituindo na expressão geral:
Então:
Resolvendo para :
Passo 6
Com e determinado, a distribuição de temperatura final é:
Podemos simplificar agrupando termos:
Resposta
A nova distribuição de temperatura na placa é dada por: