(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
b) Calcule a temperatura da superfície isolada em t= e 2 h numa placa de espessura , e difusividade térmica . é obtido sorteando um valor entre 200 e 250.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria
Vamos resolver um exercício de condução de calor em uma placa. A placa tem uma espessura de cm e uma distribuição inicial de temperatura dada por:
Para , a superfície em está isolada (não troca calor com o ambiente) e em está trocando calor por convecção com um fluido cuja temperatura é . A difusividade térmica da placa é .
Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor em regime transiente, especificamente soluções para a equação de condução de calor em uma placa com condições de contorno específicas. Nosso objetivo é calcular a temperatura na superfície isolada () nos tempos de minutos, hora e horas.
Passo 2
Escolhendo o Valor de
Primeiro, precisamos definir o valor de . Vamos sortear um valor entre e . Vamos escolher:
Passo 3
Entendendo as Condições de Contorno
A superfície em está isolada, o que significa que não há fluxo de calor através dela. Matematicamente, isso é expresso como:
A superfície em está trocando calor por convecção com o fluido, e o coeficiente de transferência de calor é muito elevado, o que simplifica a condição de contorno para:
Passo 4
Aplicando a Solução de Condução de Calor
Para resolver a equação de condução de calor com essas condições de contorno, usamos uma solução em série de Fourier. Dada a distribuição inicial de temperatura e as condições de contorno, a solução para a temperatura na posição e tempo é:
Onde:
(temperatura do fluido)
(convertendo 10 cm para metros)
Passo 5
Calculando a Temperatura na Superfície Isolada ()
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Calculando o expoente:
Então:
Passo 6
Convertendo os Tempos para Segundos
Vamos converter os tempos para segundos, já que a difusividade térmica está em :
minutos = segundos
hora = segundos
horas = segundos
Passo 7
Calculando a Temperatura para cada Tempo
Vamos calcular para cada tempo:
Para segundos ( minutos):
Para segundos ( hora):
Para segundos ( horas):
Resposta
A temperatura da superfície isolada () na placa de espessura cm após: