(2,5 pontos) Uma placa de espessura L tem uma distribuição inicial de temperatura Ti=T0 cos [(pi x) / 2 L]. Em t>0, a superfície em x=0 é mantida isolada, e em x=L está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a 25^circ C.
b) Calcule a temperatura da superfície isolada em t= 6 min, 1 e 2 h numa placa de espessura L=10 cm, e difusividade térmica alpha=10^-7 m^2 / s. T0 é obtido sorteando um valor entre 200 e 250.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria
Vamos resolver um exercício de condução de calor em uma placa. A placa tem uma espessura de Ti = T0 cos(pi x2L) cm e uma distribuição inicial de temperatura dada por:
Para , a superfície em está isolada (não troca calor com o ambiente) e em está trocando calor por convecção com um fluido cuja temperatura é . A difusividade térmica da placa é .
Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor em regime transiente, especificamente soluções para a equação de condução de calor em uma placa com condições de contorno específicas. Nosso objetivo é calcular a temperatura na superfície isolada ( ) nos tempos de minutos, hora e horas.

Passo 2

Escolhendo o Valor de T0 = 225^circ C
Primeiro, precisamos definir o valor de . Vamos sortear um valor entre e . Vamos escolher:

Passo 3

Entendendo as Condições de Contorno
A superfície em partial Tpartial x|x=0 = 0 está isolada, o que significa que não há fluxo de calor através dela. Matematicamente, isso é expresso como:
T(L, t) = 25^circ C
A superfície em está trocando calor por convecção com o fluido, e o coeficiente de transferência de calor é muito elevado, o que simplifica a condição de contorno para:

Passo 4

Aplicando a Solução de Condução de Calor
Para resolver a equação de condução de calor com essas condições de contorno, usamos uma solução em série de Fourier. Dada a distribuição inicial de temperatura e as condições de contorno, a solução para a temperatura na posição T(x, t) = Tinfty + (T0 - Tinfty) cos(pi x2L) e^-alpha (pi2L)^2 t e tempo é:
Onde:
  • (temperatura do fluido)
  • (convertendo 10 cm para metros)

Passo 5

Calculando a Temperatura na Superfície Isolada ( T(0, t) = 25 + (225 - 25) times cos(0) times e^-alpha (pi2 times 0,1)^2 t )
Substituindo cos(0) = 1 na equação:
T(0, t) = 25 + 200 times e^-alpha (pi0,2)^2 t
Simplificando:
(pi0,2)^2 = (5pi)^2 = 25pi^2 approx 25 times 9,8696 = 246,74
Então:
T(0, t) = 25 + 200 times e^-246,74 times 10^-7 times t
Calculando o expoente:
T(0, t) = 25 + 200 times e^-0,024674 times t
Então:

Passo 6

Convertendo os Tempos para Segundos
Vamos converter os tempos para segundos, já que a difusividade térmica está em :
  • minutos = segundos
  • hora = segundos
  • horas = segundos

Passo 7

Calculando a Temperatura para cada Tempo
Vamos calcular T(0, 360) = 25 + 200 times e^-0,024674 times 360 = 25 + 200 times e^-8,88264 para cada tempo:
  1. Para e^-8,88264 approx 0,000139 segundos ( T(0, 360) = 25 + 200 times 0,000139 approx 25 + 0,0278 approx 25,028^circ C minutos):
T(0, 3600) = 25 + 200 times e^-0,024674 times 3600 = 25 + 200 times e^-88,824
e^-88,824 approx 2,4 times 10^-39 (praticamente zero)
T(0, 3600) approx 25 + 0 approx 25^circ C
  1. Para T(0, 7200) = 25 + 200 times e^-0,024674 times 7200 = 25 + 200 times e^-177,648 segundos ( e^-177,648 approx 0 (praticamente zero) hora):
T(0, 7200) approx 25 + 0 approx 25^circ C
  1. Para segundos ( horas):

Resposta

A temperatura da superfície isolada ( ) na placa de espessura cm após:
  • 6 minutos: aproximadamente
  • 1 hora:
  • 2 horas:

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