(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
b) Calcule a temperatura da superfície isolada em t= e 2 h numa placa de espessura , e difusividade térmica . é obtido sorteando um valor entre 200 e 250.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria
Vamos resolver um exercício de condução de calor em uma placa. A placa tem uma espessura de cm e uma distribuição inicial de temperatura dada por:
Para , a superfície em está isolada (não troca calor com o ambiente) e em está trocando calor por convecção com um fluido cuja temperatura é . A difusividade térmica da placa é .
Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor em regime transiente, especificamente soluções para a equação de condução de calor em uma placa com condições de contorno específicas. Nosso objetivo é calcular a temperatura na superfície isolada ( ) nos tempos de minutos, hora e horas.

Passo 2

Escolhendo o Valor de
Primeiro, precisamos definir o valor de . Vamos sortear um valor entre e . Vamos escolher:

Passo 3

Entendendo as Condições de Contorno
A superfície em está isolada, o que significa que não há fluxo de calor através dela. Matematicamente, isso é expresso como:
A superfície em está trocando calor por convecção com o fluido, e o coeficiente de transferência de calor é muito elevado, o que simplifica a condição de contorno para:

Passo 4

Aplicando a Solução de Condução de Calor
Para resolver a equação de condução de calor com essas condições de contorno, usamos uma solução em série de Fourier. Dada a distribuição inicial de temperatura e as condições de contorno, a solução para a temperatura na posição e tempo é:
Onde:
  • (temperatura do fluido)
  • (convertendo 10 cm para metros)

Passo 5

Calculando a Temperatura na Superfície Isolada ( )
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Calculando o expoente:
Então:

Passo 6

Convertendo os Tempos para Segundos
Vamos converter os tempos para segundos, já que a difusividade térmica está em :
  • minutos = segundos
  • hora = segundos
  • horas = segundos

Passo 7

Calculando a Temperatura para cada Tempo
Vamos calcular para cada tempo:
  1. Para segundos ( minutos):
  1. Para segundos ( hora):
  1. Para segundos ( horas):

Resposta

A temperatura da superfície isolada ( ) na placa de espessura cm após:
  • 6 minutos: aproximadamente
  • 1 hora:
  • 2 horas:

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(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
a) Desenvolva uma expressão da distribuição de temperatura unidimensional, dependente do tempo na placa.
Suponha que a taxa de juros que um determinado banco europeu oferece, aos seus clientes, é de 6% ao ano, em regime de juros compostos. Determine: Quantos anos terá de esperar, o referido cliente, para obter um capital acumulado de 100.000 euros?
(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
c) Suponha que a placa está gerando calor com uma taxa por unidade de volume igual a g0. Mantendo as mesmas condições de contorno e a inicial. Determine a nova distribuição de temperatura .
(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
d) Calcule a temperatura da superfície isolada em t= e 2 h numa placa de espessura , e difusividade térmica , admitindo e .