Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.
d(x, y) = e^(3*y*x^2) + ln(y - x^2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e queremos descobrir em quais pontos do plano cartesiano essa função é contínua. Para isso, vamos precisar conhecer sobre continuidade de funções de várias variáveis e também as condições de existência das funções envolvidas, como a exponencial e o logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente para entender onde elas são contínuas.
  • Exponencial : A função exponencial é contínua em todo o seu domínio, que é todo o plano real . Isso significa que não impõe restrições para a continuidade da função .

Passo 3

  • Logaritmo : A função logaritmo natural, , está definida apenas para . Portanto, para estar bem definida, precisamos que .

Passo 4

Juntando as duas análises, a função será contínua nos pontos onde ambas as partes são contínuas. Como a exponencial é contínua em todo lugar, a restrição vem apenas do logaritmo. Assim, a condição para a continuidade de é:

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade :
Isso significa que a função é contínua em todos os pontos onde é maior que . Geometricamente, isso corresponde à região acima da parábola no plano cartesiano.

Passo 6

Para visualizar, podemos esboçar a parábola no plano. A região de continuidade de será toda a área acima dessa parábola, ou seja, onde os valores de são maiores que .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano onde . A região de continuidade corresponde à área acima da parábola no plano cartesiano.

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