Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e queremos descobrir em quais pontos do plano cartesiano essa função é contínua. Para isso, vamos precisar conhecer sobre continuidade de funções de várias variáveis e também as condições de existência das funções envolvidas, como a exponencial e o logaritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente para entender onde elas são contínuas.
- Exponencial
: A função exponencial é contínua em todo o seu domínio, que é todo o plano real . Isso significa que não impõe restrições para a continuidade da função .
Passo 3
- Logaritmo
: A função logaritmo natural, , está definida apenas para . Portanto, para estar bem definida, precisamos que .
Passo 4
Juntando as duas análises, a função
será contínua nos pontos onde ambas as partes são contínuas. Como a exponencial é contínua em todo lugar, a restrição vem apenas do logaritmo. Assim, a condição para a continuidade de
é:
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade
:
Isso significa que a função é contínua em todos os pontos
onde
é maior que
. Geometricamente, isso corresponde à região acima da parábola
no plano cartesiano.
Passo 6
Para visualizar, podemos esboçar a parábola
no plano. A região de continuidade de
será toda a área acima dessa parábola, ou seja, onde os valores de
são maiores que
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos
do plano onde
. A região de continuidade corresponde à área acima da parábola
no plano cartesiano.