Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(h) (x*y^2 + x) dx + (x^2*y - y) dy = 0, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com valor inicial. A gente tem uma equação que envolve derivadas de e , e uma condição inicial que diz que quando , . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e entender como encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular isso:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função potencial . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e que surge da constante de integração.

Passo 4

Para encontrar , vamos derivar em relação a e igualar à função :
Assim,
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos de volta na função :
Como a equação diferencial é igual a zero, temos que .

Passo 6

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :
Então, .

Passo 7

Agora, escrevemos a solução geral da equação diferencial igualando a :
Podemos multiplicar todos os termos por 2 para simplificar:
Isolando :
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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