Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com valor inicial. A gente tem uma equação que envolve derivadas de
e
, e uma condição inicial que diz que quando
,
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e entender como encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular isso:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e que surge da constante de integração.
Passo 4
Para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar à função
:
Assim,
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
de volta na função
:
Como a equação diferencial é igual a zero, temos que
.
Passo 6
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Então,
.
Passo 7
Agora, escrevemos a solução geral da equação diferencial igualando
a
:
Podemos multiplicar todos os termos por 2 para simplificar:
Isolando
:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é:
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.
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