Em que pontos (x, y) no plano as seguintes funções são contínuas?
f(x, y)=ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para descobrir em que pontos (x, y) no plano a função f(x, y) = ln (x^2 + y^2) é contínua. Essa questão envolve o conceito de continuidade de funções, especialmente no caso da função logaritmo. Para resolver, precisamos lembrar que a função logaritmo é contínua quando seu argumento (neste caso, x^2 + y^2) é maior que zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que é x^2 + y^2. Essa expressão é a soma dos quadrados de x e y, e, como sabemos, tanto x^2 quanto y^2 são sempre maiores ou iguais a zero. Assim, a soma x^2 + y^2 será zero somente quando ambos x e y forem zero, ou seja, em (0, 0). Em todos os outros pontos do plano, essa soma será positiva.

Passo 3

Agora, podemos concluir que a função f(x, y) é contínua em todos os pontos do plano, exceto onde a soma x^2 + y^2 é igual a zero. E, como vimos, isso acontece somente no ponto (0, 0). Portanto, a função não será contínua nesse ponto, pois o logaritmo de zero não é definido.

Resposta

A função f(x, y) = ln (x^2 + y^2) é contínua em todos os pontos (x, y) no plano, exceto no ponto (0, 0).

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