Quatro cargas iguais, q, são colocadas nos vértices de um quadrado de lado L. (a) Escolha um sistema de coordenadas conveniente e faça um diagrama mostrando todas as forças que atuam em uma das cargas. (b) Determine o vetor campo elétrico que atua na carga que você escolheu. © Calcule o módulo desse vetor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! A gente tem quatro cargas iguais, cada uma com valor , colocadas nos vértices de um quadrado de lado . O que precisamos fazer é:
(a) Escolher um sistema de coordenadas legal e desenhar todas as forças que atuam em uma das cargas.
(b) Calcular o vetor campo elétrico que age nessa carga.
© Determinar o módulo desse vetor campo elétrico.
Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Lei de Coulomb e como os campos elétricos se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas que facilite nossos cálculos. Vamos colocar o quadrado no plano cartesiano, de forma que uma das cargas fique na origem . As outras três cargas estarão nos pontos , e .

Passo 3

Agora, vamos desenhar as forças que atuam na carga que está na origem. Cada uma das outras três cargas exerce uma força sobre ela. Segundo a Lei de Coulomb, a força entre duas cargas é dada por:
F = k q1 q2r^2 r
onde:
  • é a constante de Coulomb ( ²²),
  • e são as magnitudes das cargas,
  • é a distância entre as cargas,
  • é o vetor unitário na direção da força.

Passo 4

Vamos analisar as forças individuais:
  1. Carga em :
    • Distância:
    • Direção: ao longo do eixo x, afastando-se (já que as cargas são iguais e rejeitam-se).
    • Força:
  2. Carga em :
    • Distância:
    • Direção: ao longo do eixo y, afastando-se.
    • Força:
  3. Carga em :
    • Distância:
    • Direção: diagonal, afastando-se, formando um ângulo de 45° com os eixos x e y.
    • Componentes:
    • Força:

Passo 5

Agora, vamos somar todas as forças para encontrar a força resultante na carga na origem:
Ftotal = F1 + F2 + F3 = ( k q^2L^2 + k q^2 raiz24L^2 ) i + ( k q^2L^2 + k q^2 raiz24L^2 ) j
Ftotal = k q^2L^2 (1 + raiz24 ) (i + j)

Passo 6

Agora, vamos determinar o vetor campo elétrico F = q E que atua na carga na origem. Sabemos que:
E = Ftotalq = k qL^2 (1 + raiz24 ) (i + j)
Então,

Passo 7

Por fim, vamos calcular o módulo do vetor campo elétrico:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro dos parênteses:
1 + raiz24 = 4 + raiz24
Então,
E = k qL^2 cdot 4 + raiz24 (i + j)
Para encontrar o módulo,
|E| = k qL^2 cdot 4 + raiz24 cdot raiz1^2 + 1^2 = k qL^2 cdot 4 + raiz24 cdot raiz2
Simplificando,
|E| = k q raiz2L^2 cdot 4 + raiz24 = k q raiz2 (4 + raiz2)4 L^2 = k q (4raiz2 + 2)4 L^2
|E| = k q (2raiz2 + 1)2 L^2

Resposta

O módulo do vetor campo elétrico que atua na carga escolhida é:
|E| = k q (2raiz2 + 1)2 L^2

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