(4 Pontos). Prove que o coeficiente
da série de Taylor de
é exatamente o termo
presente na energia potencial elástica. (Dica: a velocidade presente na energia cinética não é dada em função de
).
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para provar que o coeficiente
da série de Taylor da energia total
é igual a
, que é o termo presente na energia potencial elástica. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia total é expressa e como aplicamos a série de Taylor para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total
de um sistema oscilatório é a soma da energia cinética e da energia potencial. Ou seja:
A energia cinética (
) de uma massa
com velocidade
é dada por:
E a energia potencial elástica (
) de uma mola com constante elástica
e deslocamento
é:
Passo 3
Então, a energia total fica:
Agora, queremos expandir essa expressão em uma série de Taylor em torno de
. A série de Taylor de uma função
em torno de
é dada por:
No nosso caso, vamos expandir em torno de
:
Passo 4
Vamos calcular cada termo da série de Taylor para a energia total
.
- Energia total em
:
- Primeira derivada de
em relação a :
Então,
- Segunda derivada de
em relação a :
Portanto,
Passo 5
Substituindo esses valores na série de Taylor:
Observamos que o termo de segunda ordem é
. Portanto, o coeficiente
é:
Resposta
O coeficiente
da série de Taylor da energia total
é exatamente
, conforme solicitado.