(4 Pontos). Prove que o coeficiente C2 da série de Taylor de E é exatamente o termo 1/2 k presente na energia potencial elástica. (Dica: a velocidade presente na energia cinética não é dada em função de x ).

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar que o coeficiente C2 da série de Taylor da energia total E é igual a 1/2 k, que é o termo presente na energia potencial elástica. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia total é expressa e como aplicamos a série de Taylor para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total E de um sistema oscilatório é a soma da energia cinética e da energia potencial. Ou seja:
é
A energia cinética ( ) de uma massa m com velocidade v é dada por:
E a energia potencial elástica ( ) de uma mola com constante elástica k e deslocamento x é:

Passo 3

Então, a energia total fica:
Agora, queremos expandir essa expressão em uma série de Taylor em torno de x = 0. A série de Taylor de uma função f(x) em torno de é dada por:
No nosso caso, vamos expandir em torno de :

Passo 4

Vamos calcular cada termo da série de Taylor para a energia total E(x).
  1. Energia total em x = 0:
  1. Primeira derivada de E em relação a x:
Então,
  1. Segunda derivada de E em relação a x:
Portanto,

Passo 5

Substituindo esses valores na série de Taylor:
Observamos que o termo de segunda ordem é . Portanto, o coeficiente C2 é:

Resposta

O coeficiente C2 da série de Taylor da energia total E é exatamente , conforme solicitado.

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