(2,5 pontos) Prove pelo Princípio de Indução Finita
, para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando o Princípio da Indução Matemática, que para todo número natural
maior ou igual a 3, a desigualdade
é verdadeira. Vamos usar indução matemática, que basicamente verifica se a afirmativa é válida para um caso inicial e, se for, mostra que se é válida para um número qualquer, ela também é para o próximo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando
. Substituindo na desigualdade:
Vemos que
é verdade. Então, a desigualdade funciona para
.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a desigualdade é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, estamos supondo que:
Essa é a nossa hipótese de indução. Agora, precisamos mostrar que, se isso é verdade para
, também é verdade para
.
Passo 4
Vamos analisar a desigualdade para
:
E queremos mostrar que:
Vamos expandir o lado direito:
Então, precisamos provar que:
Passo 5
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Isso simplifica para:
Passo 6
Como sabemos que
, então:
E
é claramente verdadeiro. Portanto,
é válido para todo
.
Resposta
Assim, pelo Princípio da Indução Matemática, provamos que para todo
com
, a desigualdade
é verdadeira.