(2,5 pontos) Prove pelo Princípio de Indução Finita , para

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando o Princípio da Indução Matemática, que para todo número natural maior ou igual a 3, a desigualdade é verdadeira. Vamos usar indução matemática, que basicamente verifica se a afirmativa é válida para um caso inicial e, se for, mostra que se é válida para um número qualquer, ela também é para o próximo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando . Substituindo na desigualdade:
Vemos que é verdade. Então, a desigualdade funciona para .

Passo 3

Agora, vamos assumir que a desigualdade é verdadeira para algum número natural . Ou seja, estamos supondo que:
Essa é a nossa hipótese de indução. Agora, precisamos mostrar que, se isso é verdade para , também é verdade para .

Passo 4

Vamos analisar a desigualdade para :
E queremos mostrar que:
Vamos expandir o lado direito:
Então, precisamos provar que:

Passo 5

Subtraindo de ambos os lados, temos:
Isso simplifica para:

Passo 6

Como sabemos que , então:
E é claramente verdadeiro. Portanto, é válido para todo .

Resposta

Assim, pelo Princípio da Indução Matemática, provamos que para todo com , a desigualdade é verdadeira.

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