(2,5 pontos) Prove pelo Princípio de Indução Finita 2 n+1 <= n^2, para n in N, n >= 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando o Princípio da Indução Matemática, que para todo número natural n maior ou igual a 3, a desigualdade 2n + 1 <= n^2 é verdadeira. Vamos usar indução matemática, que basicamente verifica se a afirmativa é válida para um caso inicial e, se for, mostra que se é válida para um número qualquer, ela também é para o próximo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando n = 3. Substituindo na desigualdade:
2(3) + 1 = 6 + 1 = 7
3^2 = 9
Vemos que 7 <= 9 é verdade. Então, a desigualdade funciona para n = 3.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a desigualdade é verdadeira para algum número natural k >= 3. Ou seja, estamos supondo que:
2k + 1 <= k^2
Essa é a nossa hipótese de indução. Agora, precisamos mostrar que, se isso é verdade para k, também é verdade para k + 1.

Passo 4

Vamos analisar a desigualdade para k + 1:
2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1 = 2k + 3
E queremos mostrar que:
2k + 3 <= (k + 1)^2
Vamos expandir o lado direito:
(k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1
Então, precisamos provar que:
2k + 3 <= k^2 + 2k + 1

Passo 5

Subtraindo 2k + 3 de ambos os lados, temos:
0 <= k^2 + 2k + 1 - (2k + 3)
0 <= k^2 - 2
Isso simplifica para:
k^2 >= 2

Passo 6

Como sabemos que k >= 3, então:
k^2 >= 3^2 = 9
E 9 >= 2 é claramente verdadeiro. Portanto, k^2 >= 2 é válido para todo k >= 3.

Resposta

Assim, pelo Princípio da Indução Matemática, provamos que para todo n in N com n >= 3, a desigualdade 2n + 1 <= n^2 é verdadeira.

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